Een omrekentabel

Vroeger had Nederland een eigen munt: de gulden. Op 1 januari 2002 is die vervangen door de euro. In het begin moesten de mensen nogal wennen aan de waarde van de euro. Sommige mensen gebruikten wel een lijstje, een spiekbriefje, waarop zij direct konden zien wat de waarde (in guldens) was van 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 en 25 euro. 1 euro is 2,2 gulden.

Neem de tabel over en vul hem verder in.

euro’s	1	2	3	5	10	15	20	25
guldens	2,2

Hoeveel gulden is 8 euro waard?

Met welk getal moet je het aantal euro’s vermenigvuldigen om de waarde in guldens te krijgen?

In januari 2002 kon je nog met guldens betalen. Als je geld terugkreeg, waren dat wel euro’s.
Anneke moest € 17,50 betalen en geeft een briefje van 50 gulden.
Hoeveel euro zal Anneke terugkrijgen?

Het principe is steeds hetzelfde: bij elk bedrag in euro’s moet je hetzelfde doen om er guldens van te maken. Als je het bedrag in euro’s $e$ noemt (en in het midden laat hoe groot $e$ is), is het bijbehorende bedrag in guldens $2,2 \times e$ .

De letter $e$ stelt hier dus een willekeurig getal voor.
Omdat de waarde van $e$ kan variëren, noemen we zo’n letter wel een variabele.

Wat moet je doen als je wilt berekenen hoeveel euro een briefje van 25 gulden waard is?
Hoeveel euro is dat waard?

Noem een aantal guldens $g$ (dat is een variabele).
Wat is het bijbehorende aantal euro’s?

Blokschema’s

Bekijk het blokschema. Dat gaan we toepassen. Je moet gewoon de pijltjes in het blokschema volgen en doen wat er staat. Neem eerst als startgetal 10.

Door de stappen in het blokschema daarmee uit te voeren, kom je op het getal 40.
Ga na dat dat klopt.

Doorloop het blokschema ook met de volgende startgetallen: 11, 12, 15, 20, 37 en 100.

Welk startgetal moet je nemen om 10 als resultaat te krijgen?

Welk startgetal moet je nemen om 343 als resultaat te krijgen?

Nog een blokschema. Daarmee gaan we een rij van tien getallen maken.

We beginnen met de getallen 1 en 2. Die staan al in de rij. Door het blokschema een keer te doorlopen, wordt het getal 3 aan de rij toegevoegd. Ga dat na.

De laatste twee getallen van de rij zijn nu 2 en 3. Werk het blokschema door.

Nog een blokschema.
We kiezen als begingetal 3; dat moet je dus opschrijven. Het blokschema berekent daarbij het getal 10. Ga dat na!
Dat moet je achter het startgetal 3 schrijven.

Werk het blokschema af.

Bij het blokschema kiezen we nu 11 als begingetal.
Werk het blokschema daarmee door.

We kiezen nu een zodanig getal dat we klaar zijn als we het blokschema drie keer doorlopen hebben.
Welk begingetal is dat? Werk daarmee het blokschema door.

Je kunt het blokschema natuurlijk ook met andere begingetallen doorwerken. Als je zin hebt, probeer er dan nog maar een paar.

Soms duurt het lang voordat je op "1" uitkomt (en dan pas ben je klaar met het blokschema). Als je bijvoorbeeld 27 als begingetal neemt, duurt het 111 stappen voordat je op "1" bent. Voor alle getallen onder 1 miljard is nagegaan hoe lang het duurt voordat je op "1" uitkomt. Het bleek dat je bij al die getallen ten slotte op "1" uitkwam. Maar niemand weet of er misschien boven 1 miljard een begingetal bestaat, waarbij je helemaal nooit op "1" uit zult komen.

Tovervierkanten

De getallen 1 tot en met 16 staan in een vierkant. Elk getal komt één keer voor. Ze zijn op een bepaalde manier over de zestien velden verdeeld.

Wat is de som van de vier getallen (dat is: de vier getallen opgeteld) in de eerste (horizontale) rij?

Wat is de som van de getallen in de tweede rij, van de getallen in de derde rij en van de getallen in de vierde rij?

Wat is de som van de getallen in de (verticale) kolommen?

Wat is de som van de vier getallen, die op de ene diagonaal staan? En die op de andere diagonaal staan?

De som van getallen is het getal dat je krijgt als je die getallen optelt.

De getallen in het vierkant zijn op een heel bijzondere manier over de zestien velden verdeeld. De som van de getallen in elke rij, in elke kolom en op elke diagonaal zijn hetzelfde.
We spreken wel van een tovervierkant of magisch vierkant.

We gaan een tovervierkant maken van 3 bij 3 velden. In elk veld komt een van de getallen 1 tot en met 9 te staan. Dat moet zó gebeuren dat de som voor elke rij, voor elke kolom en voor elke diagonaal hetzelfde is. Volgens een legende zag de Chinese keizer Yu vierduizend jaar geleden dit tovervierkant op de rug van een schildpad.

Als je alle negen getallen van 1 tot en met 9 optelt, welke som krijg je dan?

De som van de drie getallen in de eerste rij moet gelijk zijn aan de som van de drie getallen in de tweede rij en moet ook gelijk zijn aan de som van de drie getallen in de derde rij.
Wat moet deze som dus zijn?

De kolommen en de diagonalen moeten dezelfde som geven.
Probeer de getallen 1 tot en met 9 op de rug van de schildpad te plaatsen zodat een tovervierkant ontstaat. We verraden dat de 5 in het midden komt. Als het niet meteen lukt, probeer het dan nog eens.

We gaan de getallen 1 t/m 15 plaatsen bij de piramide. Op elk van de hoekpunten komt een getal, op elke ribbe, op elk grensvlak en binnen in het viervlak. Dat moet zó gebeuren dat

het getal op een ribbe de som is van de getallen op de eindpunten van die ribbe,
het getal op een grensvlak de som is van de getallen op de hoekpunten van dat grensvlak,
het getal binnen in het hele viervlak de som is van de getallen op de hoekpunten van het viervlak.

Ga je gang.

Ontdek de regelmaat in de vier tabellen en vul ze verder in.

Het getal in de eerste regel van een tabel noemen we $n$ .
Zeg van elk van de tabellen wat dan het getal in de tweede regel is.
Voor de eerste tabel is dat $3 \times n$ .