Spiegelen

Een spiegelsymmetrische figuur bestaat uit twee helften die precies op elkaar passen. Daarbij moet de ene helft wel ondersteboven gelegd worden. Denk aan een vlinder. Je kunt ook zeggen dat je de twee helften op elkaar kunt vouwen. De lijn waarom je vouwt heet de spiegelas of symmetrieas.

Je krijgt hetzelfde effect als je de ene helft tegen de spiegel houdt; in de spiegel krijg je dan de andere helft te zien. Als je twijfelt of een lijn wel echt een spiegelas is, kun je goed een spiegeltje gebruiken om dat te controleren.

Zeg van elk logo van opgave 5 hoeveel symmetrieassen het heeft.

Hiernaast staat een andere afbeelding van de audi-logo. Hoeveel symmetrieassen heeft dit logo?

Opmerking:

In de digitale mini-loco aantal symmetrieassen kun je nog meer oefenen.

Teken op het werkblad het spiegelbeeld van de twee halve figuren.

Als je de letter B in de stippellijn spiegelt, krijg je de figuur rechts van de stippellijn. De figuur rechts heet het spiegelbeeld van de letter B (als je in de stippellijn spiegelt). Omgekeerd is de letter B spiegelbeeld van de rechter figuur.

Teken op het werkblad het spiegelbeeld van de letter A in elk van de twee stippellijnen.

Welke hoofdletters zijn in spiegelschrift (verticale spiegellijn) hetzelfde als in gewoon schrift?

En welke hoofdletters zijn op hun kop hetzelfde als in gewoon schrift?

Teken op een kladblaadje een lijn $k$ en een punt $P$ dat niet op $k$ ligt.

Hoe kun je met vouwen het spiegelbeeld van $P$ in de lijn $k$ vinden?

Teken in je schrift een lijn $k$ en een punt $P$ dat niet op $k$ ligt.

Hoe kun je met je geodriehoek snel het spiegelbeeld van $P$ in de lijn $k$ vinden? Teken dat punt.

Teken nogmaals in je schrift een lijn $k$ en een punt $P$ dat niet op $k$ ligt.

Kies twee punten op $k$ . Teken de cirkels met die punten als middelpunt die door $P$ gaan.

De cirkels snijden elkaar behalve in $P$ in nog een punt. Dat punt is het spiegelbeeld van $P$ in $k$ .

Je hoeft niet de hele cirkels te tekenen. Twee cirkelbogen zijn al genoeg.

Teken in je schrift een lijn en twee punten $X$ en $Y$ bijvoorbeeld zó:

Teken met je geodriehoek het spiegelbeeld van $X$ in de lijn.

Teken met alleen je passer het spiegelbeeld van $Y$ in de lijn.

Teken een lijnstuk en de symmetrieas van dat lijnstuk. Weet je hoe men de symmetrieas van een lijnstuk ook wel noemt?

Teken een hoek en de symmetrieas van die hoek. Weet je hoe men de symmetrieas van een hoek ook wel noemt?

Hoeveel symmetrieassen kan een driehoek hebben?

Als een driehoek een of meer symmetrieassen heeft, heeft hij een speciale naam. Welke?

Op het werkblad staat een regelmatige zeshoek en een regelmatige zevenhoek.

Teken van beide alle symmetrieassen.

De symmetrieassen van een regelmatige zevenhoek zijn allemaal van hetzelfde type. Die van een regelmatige zeshoek zijn er in twee typen.

Welke twee typen?

Hoe zit het met de symmetrieassen van een regelmatige tienhoek? En van een regelmatige elfhoek?

Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige $n$ -hoek?

Een figuur heet spiegelsymmetrisch als hij bestaat uit twee helften. De (rechte) grenslijn tussen die twee helften is de spiegelas. Met elk punt $X$ in de ene helft (niet op de spiegelas) correspondeert een punt $X'$ in de andere helft. De spiegelas is de middelloodlijn van de lijnstukken $X X'$ . Dat wil zeggen dat de spiegelas loodrecht staat op $X X'$ en het lijnstuk $X X'$ middendoor deelt. In het bijzonder liggen $X$ en $X'$ even ver van de spiegelas af.

Hoeveel spiegelassen heeft een

vierkant,

willekeurige ruit,

willekeurige rechthoek,

willekeurig trapezium,

willekeurige vlieger,

willekeurig parallellogram?

Teken drie punten $A$ , $B$ en $C$ , niet op één lijn. $A$ , $B$ en $C$ zijn drie punten van een spiegelsymmetrische figuur.

Stel dat $A$ en $B$ elkaars spiegelbeeld zijn, waar ligt dan het spiegelbeeld van $C$ ?

Stel dat $A$ en $C$ elkaars spiegelbeeld zijn, waar ligt dan het spiegelbeeld van $B$ ?

Stel dat $B$ en $C$ elkaars spiegelbeeld zijn, waar ligt dan het spiegelbeeld van $A$ ?

We gaan de "vlinder" spiegelen in de getekende lijn. Daarvoor heb je vier manieren geleerd. Die vier manieren zetten we nog eens op een rij.
De manieren 3 en 4 zijn het "wiskundigst" .

Vier manieren

1.	door te vouwen om de spiegelas,
2.	door een spiegel te zetten op de spiegelas,
3.	door de geodriehoek symmetrisch over de spiegelas te leggen en van de hoekpunten van de vlinder het spiegelbeeld te tekenen,
4.	door de passerpunt op twee plaatsen van de spiegelas te zetten en van daaruit cirkelbogen door de hoekpunten van de vlinder te tekenen.

Teken op het werkblad op de manieren 3 en 4 het spiegelbeeld van de vlinder.

Teken een driehoek $A B C$ .

Teken de drie deellijnen (= bissectrices) van de hoeken. Zet de letter $M$ bij hun snijpunt.

Het punt $M$ ligt even ver van de drie zijden van driehoek $A B C$ . $M$ is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek $A B C$ .

Teken vanuit $M$ de loodlijnen op de drie zijden van driehoek $A B C$ .

Als je goed kijkt, zie je dat driehoek $A B C$ in drie vliegers is opgedeeld.

Kleur de vliegers verschillend.

Stel dat $∠ A = 27^{\circ}$ .

Bereken de grootte van de andere hoeken van de vlieger met hoekpunt $A$ .

11s

13s

Twee lijnen maken een hoek van $84^{\circ}$ . (Omdat het lijnen zijn, lopen ze aan allebei de kanten door.) Neem de figuur over.

Teken de twee symmetrieassen die de figuur heeft.

Zet in elk van de acht hoeken bij het snijpunt hoe groot de hoek is. De hoeken moet je niet meten, maar berekenen!

Hoe groot zijn de vier hoeken die de symmetrieassen met elkaar maken?

In de plattegrond zie je Ad en Bas. Ze staan voor een muur. Ad wil de bal via de muur naar Bas schoppen, zonder effect. De vraag is op welke plek de bal de muur moet raken. Op de muur zijn vijf plekken aangegeven: 1, 2, 3, 4 en 5.

Welke plek lijkt jou het beste?

Er is een makkelijke manier op de juiste plek te vinden:

spiegel Ads plaats in de muur,
verbind het spiegelbeeld met Bas' plek,
waar de verbindingslijn de muur snijdt, daar moet de bal de muur raken.

Voer dit uit op het werkblad.

We gaan uitleggen dat in opgave 18b de hoek waaronder de bal op de muur komt en van de muur vertrekt gelijk zijn.
De punten $A$ , $A'$ , $B$ , $S$ zijn zoals in het verhaal van opgave 18 ; $P$ en $Q$ liggen op de spiegelas.

De hoeken $A S P$ en $A' S P$ zijn even groot. Immers, bij vouwen om lijn $P Q$ komt $A$ op $A'$ , dus komt hoek $A S P$ op hoek $A' S P$ . Verder is hoek $A' S P$ even groot als hoek $B S Q$ (overstaande hoeken).

Conclusie: $∠ A S P = ∠ B S Q$ .

Willebrord Snellius
(1591-1626)

Veronderstel dat lijn $P Q$ een spiegel is en je schijnt met een zaklamp vanuit $B$ in de richting van $A'$ . Dan wordt de straal door de spiegel bij $S$ teruggekaatst in de richting van $A$ .

Deze brekingseigenschap van licht werd door Willebrord Snellius, (1591-1626) geformuleerd. Hij was hoogleraar te Leiden.

Voor iemand die vanuit $B$ in de spiegel kijkt, lijkt de persoon die in werkelijkheid in $A$ staat, in $A'$ te staan.

Als je bij biljarten de bal (zonder effect) tegen de band speelt, wordt hij zo "teruggekaatst" , dat de twee hoeken waar de puntjes in staan even groot zijn. Hij lijkt dan vanuit het spiegelbeeld van de bal in de band te komen.

Op het werkblad is de plaats van een bal en de band van het biljart aangegeven. Jos speelt de bal zonder effect in de richting van de pijl.

Teken op het werkblad het spiegelbeeld van het middelpunt van de bal in de band.

Teken nu, zonder hoeken te meten, de richting waarin de bal zijn weg vervolgt, nadat hij tegen de band is gekomen.

Jos speelt bal 2 tegen de band. Hij wil bal 1 "vol" raken.

Zoek de plaats waar hij de bal tegen de band moet spelen. Gebruik een spiegelbeeld.

Teken drie punten $A$ , $B$ en $C$ , niet op één lijn.

$A$ en $B$ zijn elkaars spiegelbeeld in een zekere spiegelas, $B$ en $C$ zijn elkaars spiegelbeeld in een andere as en $C$ en $A$ zijn elkaars spiegelbeeld in een derde as.

Teken nauwkeurig de spiegelassen.

Wat weet je van de drie spiegelassen te vertellen?

15s

18s

Op het werkblad zijn in een hoek van een biljart twee ballen aangegeven.
Janneke speelt bal 2 zó, dat zij via band 2 en band 1 bal 1 vol raakt.
Teken op het werkblad de baan van de bal.

16s

19s

In de hoek van een gang staat een spiegel. Anneke staat bij $A$ en Ben bij $B$ . Via de spiegel kan Anneke Ben zien. De kijklijn die van $A$ via de spiegel naar $B$ loopt, gedraagt zich net zo als wanneer je een biljartbal via de spiegel (= de band) van $A$ naar $B$ stoot.

Teken die gebroken kijklijn op het werkblad.

17s

20s

Max kijkt in het spiegeltje van zijn bolide.

Kleur op het werkblad het gebied dat Max via het spiegeltje kan zien. De dikke stip op de helm is de plaats van de pupil van het oog.

Uit je tekening zie je dat Max een groot deel van wat er net links achter hem gebeurt, niet in de spiegel kan zien. Dit noemt men de dode hoek van de spiegel.