Er is een verband tussen $\sqrt{2}$ en $\sqrt{\frac{1}{2}}$ . Ook tussen $\sqrt{3}$ en $\sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Zoek dat met je rekenmachine.

Er geldt: $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ . Dit volgt uit de rekenregels:
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

Laat op net zo’n manier zien dat $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{3}$ .

Wat is het verband tussen $\sqrt{n}$ en $\sqrt{\frac{1}{n}}$ ? ( $n$ is een positief getal.)
Bewijs dat.

Voorbeeld 5 (zonder breuk onder het wortelteken schrijven)
$\sqrt{2 \frac{1}{5}}$ zonder breuk onder het wortelteken schrijven gaat zó: $\sqrt{2 \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{11}{5}} = \sqrt{\frac{55}{25}} = \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot \sqrt{55} = \frac{1}{5} \sqrt{55}$
en $\sqrt{\frac{1}{12}}$ zó: $\sqrt{\frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{3}{36}} = \sqrt{\frac{1}{36}} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{6} \sqrt{3}$ .

Je moet van de noemer onder het wortelteken een kwadraat maken!

Schrijf zonder breuk onder het $\sqrt{}$ -teken:

$\sqrt{\frac{2}{7}}$

$\sqrt{\frac{3}{10}}$

$\sqrt{\frac{1}{8}}$

Laat zonder rekenmachine zien dat:
$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{4 \frac{1}{2}} + \sqrt{12 \frac{1}{2}} + \sqrt{24 \frac{1}{2}} = 8 \sqrt{2}$ .

Opmerking
Misschien heb je hierboven bij onderdeel a als laatste antwoord $\frac{1}{8} \sqrt{8}$ gegeven, maar $\frac{1}{8} \sqrt{8}$ kun je met een kleiner geheel getal onder het $\sqrt{}$ -teken schrijven: $\frac{1}{8} \sqrt{8} = \frac{1}{8} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{8} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{4} \sqrt{2}$

Let op
$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ kun je niet eenvoudiger schrijven.
We hebben gezien dat: $\sqrt{2} + \sqrt{3} > \sqrt{5}$ .

Schrijf zo eenvoudig mogelijk, met een zo klein mogelijk geheel getal onder het $\sqrt{}$ -teken. (Eén van de vormen is niet te vereenvoudigen.)

$\sqrt{3} + \sqrt{12}$	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$
$5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{8}$	$5 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{8}$
$\sqrt{20} + \sqrt{80}$	$\sqrt{20} \cdot \sqrt{80}$
$\sqrt{2} + \sqrt{10}$	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}$

$\sqrt{6} + \sqrt{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{2 \frac{2}{3}}$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{12}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Laat zien dat $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 \frac{2}{3}}$ .

Laat zien dat $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 \frac{3}{8}}$ .

Laat zien dat $\sqrt{\sqrt{5} + 1} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 1} = 2$ .

Bereken met je rekenmachine
$\sqrt{12} : \sqrt{3}$ en ook $\sqrt{32} : \sqrt{2}$ en $\sqrt{2} : \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Mooie uitkomsten! Je kunt met rekenregels begrijpen dat de rekensommen mooi uitkomen.
$\sqrt{12} : \sqrt{3} = \sqrt{4}$ , want $\sqrt{3} \cdot \sqrt{4} = \sqrt{12}$ , dus $\sqrt{12} : \sqrt{3} = \sqrt{4} = 2$ .

Bereken zo ook zonder rekenmachine:

$\sqrt{32} : \sqrt{2}$	$\sqrt{32} : \sqrt{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{1000} : \sqrt{10}$	$\sqrt{0,001} : \sqrt{\frac{1}{10}}$

Voor alle positieve getallen $p$ en $q$ geldt:
$\sqrt{p} : \sqrt{q} = \sqrt{p : q}$ ofwel (anders geschreven):
$\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}} = \sqrt{\frac{p}{q}}$

Bereken en schrijf zo eenvoudig mogelijk.
Vereenvoudig de wortels.

$10 \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$	$10 \sqrt{2} : \sqrt{5}$
$10 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$	$10 \sqrt{2} : \sqrt{2}$
$10 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2}$	$10 \sqrt{2} : 5 \sqrt{2}$

$5 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}$	$\sqrt{12} + 2 \sqrt{3}$
$5 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6}$	$\sqrt{12} - 2 \sqrt{3}$
$5 \sqrt{6} \cdot 3 \sqrt{6}$	$\sqrt{12} \cdot 2 \sqrt{3}$
$5 \sqrt{6} : 3 \sqrt{6}$	$\sqrt{12} : 2 \sqrt{3}$

$3 \sqrt{5} + \sqrt{20}$	$\sqrt{99} + \sqrt{44}$
$3 \sqrt{5} ‒ \sqrt{20}$	$\sqrt{99} ‒ \sqrt{44}$
$3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$	$\sqrt{99} \cdot \sqrt{44}$
$3 \sqrt{5} : \sqrt{20}$	$\sqrt{99} : \sqrt{44}$

Voorbeeld 6 (geen wortels in de noemer laten staan)
In de vorm $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$ staat een wortel in de noemer, je kunt die vorm zonder wortel in de noemer schrijven.
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{30}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{30} = \frac{1}{2} \sqrt{30}$ .

Wortels vereenvoudigen

$\sqrt{20}$ schrijven als $2 \sqrt{5}$
een zo klein mogelijk geheel getal onder het wortelteken
$\sqrt{1 \frac{1}{4}}$ schrijven als $\frac{1}{2} \sqrt{5}$
geen breuken onder het wortelteken
$\sqrt{2 \frac{1}{4}}$ schrijven als $1 \frac{1}{2}$
zo mogelijk zonder wortelteken schrijven
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ schrijven als $\frac{1}{2} \sqrt{6}$
geen wortels in de noemer laten staan

Vereenvoudig de volgende wortelvormen.

$\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{12}}$

$\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{0,8}}{\sqrt{0,2}}$

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}}$

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{14}}$

Schrijf zo eenvoudig mogelijk en vereenvoudig de wortels.

$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{8}$	$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$
$\sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{24}$	$\sqrt{24} : \sqrt{\frac{2}{3}}$
$\sqrt{56} + \sqrt{\frac{2}{7}}$	$\sqrt{0,64} - \sqrt{0,36}$
$10 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2}$	$10 \sqrt{2} : (5 \sqrt{2})$

Vul de ontbrekende getallen in het schema in.
Vereenvoudig de wortels.