3.8 Spreidingsmaten >

Hoofdstukken > Statistiek 1

Tot nu toe hebben we gekeken naar de centrummaten. Naast deze kengetallen voor het centrum van de 'berg' cijfers zijn er ook kengetallen voor de spreiding van de 'berg' cijfers.

Voorbeeld:

Bekijk de twee cijferreeksen:
$\begin{matrix} A : & 6 & , & 6 & , & 6 & , & 7 & , & 6 & , & 5 \\ B : & 10 & , & 2 & , & 10 & , & 2 & , & 3 & , & 9 \end{matrix}$

Beide reeksen hebben als gemiddelde $6$ , maar er is duidelijk verschil tussen de reeksen. De spreiding bij reeks $B$ is veel groter.

De meest eenvoudige spreidingsmaat is de spreidingsbreedte:
grootste waarneming $-$ kleinste waarneming.

Bij reeks $A$ is de spreidingsbreedte $2$ en bij reeks $B$ is die $8$ .

Verzin een voorbeeld van een cijferreeks met dezelfde spreidingsbreedte als $B$ maar waarvan jij de spreiding toch kleiner vindt dan die van $B$ .

Reeksen met dezelfde spreidingsbreedte hebben voor ons gevoel niet altijd dezelfde spreiding. Er kunnen zelfs grote verschillen optreden. Het is dus eigenlijk niet zo'n goede maat om de spreiding van een reeks aan te geven.

Wat is een voordeel van de spreidingsbreedte als maat voor de spreiding?

Een andere maat voor de spreiding is de kwartielafstand:
derde kwartiel (Q₃) $-$ eerste kwartiel (Q₁).

Bereken de kwartielafstand van de volgende cijferreeks:
$1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$ .

Deze kwartielafstand is minder gevoelig voor uitschieters dan de spreidingsbreedte.

Illustreer deze uitspraak met een getallenvoorbeeld.

Een derde maat voor de spreiding is de gemiddelde afwijking ten opzichte van het gemiddelde.
De gemiddelde afwijking wordt berekend door de afwijkingen (altijd een positief getal) t.o.v. het gemiddelde van alle waarnemingen op te tellen en vervolgens te delen door het aantal waarnemingen.

Voorbeeld:

Serie $A$ : $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$
Serie $B$ : $2$ , $5$ , $5$ , $6$ , $6$ , $6$ , $8$ , $8$ , $9$ , $10$ , $12$
Beide series hebben als gemiddelde $7$ .

Voor serie $A$ zijn de afwijkingen ten opzichte van $7$ :
$5$ , $4$ , $3$ , $2$ , $1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ .

De gemiddelde afwijking wordt nu:
$\frac{5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5}{11} = 2,7$ .

Voor serie $B$ is de gemiddelde afwijking:
$\frac{5 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5}{11} = 2,45$ .

Bereken de gemiddelde afwijking voor de volgende serie:
$5$ , $4$ , $7$ , $8$ , $2$ , $9$ , $10$ , $3$ , $6$ , $7$ .

Bereken de gemiddelde afwijking bij de frequentietabel hiernaast.

De lengten die hier staan zijn natuurlijk de klassenmiddens van de verschillende klassen.

Verzin een cijferreeks van $7$ cijfers waarbij het gemiddelde $6$ is en de gemiddelde afwijking $2$ .

De gemiddelde afwijking heeft niet het bezwaar dat die zeer gevoelig is voor uitschieters. Toch wordt deze spreidingsmaat in de praktijk nauwelijks gebruikt omdat het rekenwerk en de rekenregels daarbij nogal gecompliceerd zijn.

Deze rekenregels worden eenvoudiger als je de afwijkingen kwadrateert. Het gemiddelde van deze kwadraten is de variantie.

Om dit kwadrateren weer op te heffen, wordt van de variantie de wortel genomen. Het getal dat je dan krijgt, is de standaardafwijking, ook vaak standaarddeviatie genoemd (deviatie = afwijking). Dit is de meest gebruikte spreidingsmaat.

Voorbeeld:

De variantie en standaarddeviatie van de serie $3$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $11$ bereken je als volgt.

Bereken eerst het gemiddelde:
$\frac{3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11}{7} = 7$ .
Bepaal de afwijkingen (deviaties) van het gemiddelde:
$4$ , $2$ , $1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ .
Bereken de kwadraten van deze afwijkingen:
$16$ , $4$ , $1$ , $0$ , $1$ , $4$ , $16$ .
Bereken het gemiddelde van deze kwadraten:
$\frac{16 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 16}{7} = 6$ .
Dit is de variantie.
Bereken de wortel van de variantie:
$\sqrt{6} = 2,45$ .
Dit is de standaarddeviatie (of standaardafwijking).

Bereken de standaarddeviatie van de series $A$ en $B$ (waarvan de gemiddelde afwijking hiervoor al is bepaald):
Serie $A$ : $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$
Serie $B$ : $2$ , $5$ , $5$ , $6$ , $6$ , $6$ , $8$ , $8$ , $9$ , $10$ , $12$

Bereken de variantie en de standaardafwijking bij de tabel met de lengten (opgave 55).

Waarom gebruiken we als spreidingsmaat de wortel van de variantie en niet de variantie zelf?

(hint)

In welke eenheid wordt de variantie uitgedrukt als de waarnemingen in cm zijn?

Bereken het gemiddelde, de variantie en de standaarddeviatie van elk van de volgende series.
Serie $P$ : $2$ , $4$ , $6$ , $8$ .
Serie $Q$ : $102$ , $104$ , $106$ , $108$ .
Serie $R$ : $20$ , $40$ , $60$ , $80$ .
Serie $S$ : $2$ , $2$ , $4$ , $4$ , $6$ , $6$ , $8$ , $8$ .

Wat gebeurt er met het gemiddelde en met de standaarddeviatie als je van een serie:

alle getallen met $100$ vermeerdert?
alle getallen met $10$ vermenigvuldigt?
alle getallen twee keer telt?

Welke van de volgende zes series hebben dezelfde standaarddeviatie en hoe komt dat?

Serie $U$ : $1$ , $2$ , $2$ , $3$ .	Serie $X$ : $1$ , $1$ , $1$ , $3$ , $3$ , $3$ .
Serie $V$ : $1$ , $1$ , $3$ , $3$ .	Serie $Y$ : $0$ , $0$ , $2$ , $2$ .
Serie $W$ : $1$ , $1$ , $1$ , $3$ .	Serie $Z$ : $2$ , $2$ , $6$ , $6$ .

We bekijken alle mogelijke series van zeven cijfers, die minimaal $1$ en maximaal $10$ zijn.

Bereken de grootst mogelijke standaarddeviatie en de kleinst mogelijke standaarddeviatie. Geef ook de bijbehorende series.

Bij veel sporten worden allerlei statistieken bijgehouden. Stel dat bij handboogschieten de scores van de leden van een club zijn bijgehouden. We bekijken de statistieken van drie leden.
Schutter $A$ : gemiddelde $8,2$ en standaardafwijking $0,4$ .
Schutter $B$ : gemiddelde $8,0$ en standaardafwijking $0,5$ .
Schutter $C$ : gemiddelde $7,8$ en standaardafwijking $1,0$ .
Bij een wedstrijd moet de coach een van deze drie leden kiezen om zijn team compleet te maken.

Welke afweging kan de coach maken, enkel op grond van deze statistieken?