Hoofdstukken > Binomiale en normale verdelingen

Herhaling uit het hoofdstuk Combinatoriek en rekenregels

In de finale van een wielerklassieker bestaat de kopgroep uit zeven renners. Het peloton is zo ver achter dat het zeker is dat de zeven koplopers de prijzen zullen verdelen. Drie van hen zullen op het podium komen, als nummer 1, 2 en 3.

Hoeveel verschillende bezettingen van het podium zijn er mogelijk?

In een serie van de $1500$ meter (atletiek) bestaat de kopgroep uit zeven lopers. De anderen hebben een zo grote achterstand opgelopen dat het zeker is dat deze zeven lopers zullen strijden om de eerste plaatsen. De eerste drie gaan door naar de halve finale. Hierbij is het niet van belang wie er eerste, tweede of derde wordt.

Hoeveel verschillende drietallen zijn er voor de halve finale mogelijk?

Opmerking:

Het antwoord van opgave 14 is het aantal geordende grepen ofwel permutaties van $3$ uit $7$ . We noteren dit aantal met $7 P 3$ .
Dit aantal bereken je op de GR met de knop $n P r$ .

Het antwoord van opgave 16 is het aantal ongeordende grepen ofwel combinaties van $3$ uit $7$ . We noteren dit aantal met $7 C 3$ , ook wel met $(\begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array})$ .
Dit aantal bereken je op de GR met de knop $n C r$ .

Wat is het verband tussen $7 P 3$ en $7 C 3$ ? Leg dat uit.

Wat is het verband tussen $n P r$ en $n C r$ ?

Ga na: $100 P 4 =$ $100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 = \frac{100!}{96!}$ .

Geef een formule voor $n P r$ in de vorm: $n P r = \frac{\dots!}{\dots!}$ .

Uit de onderdelen b en d van de voorgaande opgave volgt de formule hieronder.

Er geldt: $n C r =$ $(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

Opmerking:

$(\begin{array}{l} n \\ r \end{array})$ is het aantal 0-1-rijtjes van lengte $n$ met $r$ nullen,
$(\begin{array}{l} n \\ r \end{array})$ is het aantal kortste routes van lengte $n$ in een rooster met $r$ stappen naar rechts,
$(\begin{array}{l} n \\ r \end{array})$ is het aantal grepen van $r$ dingen uit een verzameling van $n$ dingen.
Met een "greep" bedoelen we een ongeordende greep zonder herhalingen: de volgorde waarin je de dingen pakt, is niet van belang; je kunt een ding maar één keer pakken.

De combinatiegetallen zijn mooi geordend in de driehoek van Pascal.

In figuur 1 hieronder is het begin van de driehoek van Pascal getekend. Er is aangegeven hoe de regels genummerd zijn.
De getallen in de zesde rij zijn van links naar rechts:
$(\begin{array}{l} 6 \\ 0 \end{array})$ $(\begin{array}{l} 6 \\ 1 \end{array})$ , $(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array})$ , $(\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array})$ , $(\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array})$ , $(\begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 6 \\ 6 \end{array})$ , zie figuur 2.
Dit is je in hoofdstuk 1 Combinatoriek en rekenregels al verteld.

figuur 1

figuur 2

$(\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array})$ kun je schrijven als een combinatiegetal in de volgende regel, dus $(\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}) = (\begin{matrix} 7 \\ \dots \end{matrix})$ .

Welk getal moet er op de stippellijn staan?

Vul de juiste uitdrukkingen in $r$ in:
$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = (\begin{matrix} n - 1 \\ \dots \end{matrix}) + (\begin{matrix} n - 1 \\ \dots \end{matrix})$ .

Als je de getallen in een rij van de driehoek van Pascal optelt, krijg je een macht van $2$ .

Welke macht van $2$ krijg je bij de $n$ -de rij? Verklaar je antwoord.

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix})$

Toepassen

In een doos zitten $30$ ballen: $20$ witte en $10$ zwarte. Pak er acht ballen uit (zonder terugleggen). Noem het aantal getrokken witte ballen $X$ .

Hoeveel grepen van acht ballen zijn er uit een doos met $30$ ballen? Geef je antwoord met een combinatie-getal.

Bij hoeveel grepen heb je vijf witte ballen en drie zwarte ballen gepakt? Schrijf je antwoord als product van twee combinatiegetallen.

Wat is de kans dat je vijf witte en drie zwarte ballen pakt? Schrijf de kans met behulp van combinatiegetallen en bereken hem ook in drie decimalen.

Uit een volledig kaartspel van $52$ kaarten trekken we (zonder terugleggen) drie kaarten.

Hoeveel grepen zijn er van drie kaarten uit een volledig spel?

Bij hoeveel grepen zijn de drie kaarten schoppen?

Wat is dus de kans op drie schoppenkaarten? Geef je antwoord in drie decimalen.

Je kunt de kans op drie schoppenkaarten ook berekenen door een geschikt boomdiagram te tekenen en daaruit drie breuken te vermenigvuldigen.

Doe dat.

Hoe groot is de kans op drie kaarten van dezelfde kleur (drie schoppen, drie harten, drie ruiten of drie klaveren)? Geef je antwoord in drie decimalen.

Bij het (zonder terugleggen) trekken van drie kaarten uit een volledig spel van $52$ kaarten is Y het aantal getrokken schoppenkaarten.

Welke waarden kan $Y$ aannemen?

Bereken op twee manieren $P (Y = 1)$ .

Geef in een tabel de kansverdeling van $Y$ . Schrijf de kansen met behulp van combinatiegetallen. Bereken de kansen ook in drie decimalen nauwkeurig.

Lotto
Nevenstaande informatie over de lotto staat op internet.

Hoeveel mogelijkheden zijn er om zes getallen uit $45$ te kiezen?

Als je vijf van de zes winnende getallen goed hebt, krijg je $1000$ euro.

Op hoeveel manieren kun je zes getallen invullen met vijf winnende?

Bereken in vijf decimalen de kans dat je de prijs van $1000$ euro wint.

In de kast staan tien boeken, vier thrillers en zes detectives. Daan mag er drie meenemen. Hij kiest willekeurig, dus alle drietallen zijn even waarschijnlijk.

Bereken de kans dat hij één thriller kiest en twee detectives.

Bereken ook de kans dat hij:

drie detectives kiest;
twee thrillers kiest en één detective kiest;
drie thrillers kiest.

Hoe kun je je antwoorden op a en b controleren?

Uit een klas van tien jongens en twaalf meisjes wordt een afvaardiging van zes leerlingen gekozen.

Hoe groot is de kans dat er evenveel meisjes als jongens gekozen worden? Schrijf je antwoord met combinatiegetallen en geef vervolgens het antwoord in drie decimalen.

Na de wedstrijd van Ajax tegen Feyenoord is het weer eens mis. Vijfentwintig supporters, tien van Ajax en vijftien van Feyenoord gaan met elkaar op de vuist. De politie grijpt in, zonder ergens op te letten: elke supporter heeft dezelfde kans om opgepakt te worden. In totaal worden er acht supporters gearresteerd.

Bereken met combinatiegetallen de kans dat er drie aanhangers van Ajax en vijf van Feyenoord naar het bureau moeten. Geef je antwoord vervolgens in drie decimalen. antwoord in drie decimalen.