1

a

$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) = 120$

b

2, 3, 4, 5, 6

2

a

-

b

$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) {(\frac{1}{2})}^{10} = 0,117 \dots$

3

a

$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$\frac{1}{1024}$	$\frac{10}{1024}$	$\frac{45}{1024}$	$\frac{120}{1024}$	$\frac{210}{1024}$	$\frac{252}{1024}$	$\frac{210}{1024}$	$\frac{120}{1024}$	$\frac{45}{1024}$	$\frac{10}{1024}$	$\frac{1}{1024}$

b

4

$(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) {(\frac{1}{2})}^{8} = \frac{7}{64}$

5

a

De succeskans $\frac{1}{2}$ ; het aantal herhalingen is $n$ ; $X =$ het nummer van het bakje $=$ het aantal keer dat het balletje naar rechts valt; $E (X) = \frac{1}{2} n$ .

b

Het wordt breder en lager.

c

Bij $\frac{1}{2} n$

d

Groter

6

a

Een afwijking is positief.

b

$E (X) = 3$ . De afwijking van $3$ noemen we $A$ . Dan

$a$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (A = a)$	$\frac{20}{64}$	$\frac{30}{64}$	$\frac{12}{64}$	$\frac{2}{64}$

c

$0 \cdot \frac{20}{64} + 1 \cdot \frac{30}{64} + 2 \cdot \frac{12}{64} + 3 \cdot \frac{2}{64} = \frac{15}{16}$

7

$0$

8

7 , 10 , 10 , 10 , 10 , 13 ; 7 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 ; 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 13 ; 9 , 9 , 9 , 11 , 11 , 11

9

a

$E (X) = 2$ en $Vaa (X) = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 2$ .
$E (Y) = 2$ en $Vaa (Y) = \frac{2}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 4 = 2 \frac{2}{3}$ .

b

$k$	$0$	$4$	$6$	$10$
$P (X + Y = k)$	$\frac{2}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$E (X + Y) = 4$ en $Vaa (X + Y) = \frac{2}{6} \cdot 4 + \frac{2}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 6 = 2 \frac{2}{3}$

c

Klopt

10

a

$Var (X) = \frac{1}{2} {(0 - 2)}^{2} + \frac{1}{2} {(4 - 2)}^{2} = 4$ en $Var (Y) = \frac{2}{3} {(0 - 2)}^{2} + \frac{1}{3} {(6 - 2)}^{2} = 8$

b

$Var (X + Y) = \frac{1}{3} {(0 - 4)}^{2} + \frac{1}{3} {(4 - 4)}^{2} + \frac{1}{6} {(6 - 4)}^{2} + \frac{1}{6} {(10 - 4)}^{2} = 12$

c

Klopt

11

a

$k$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P (Y = k)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Dus $E (Y) = 3 \frac{1}{2}$ en $Var (Y) = \sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{6} {(k - 3 \frac{1}{2})}^{2} =$ $\frac{1}{6} (2 \cdot \frac{25}{4} + 2 \cdot \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4}) =$ $\frac{35}{12}$ .

b

$Var (Y_{n}) = \frac{35}{12} n$

12

a

$E (X) = E (Y) = 3 \frac{1}{2}$ en $E (X + Y) = 7$ .

b

$Var (X) = \frac{35}{12}$ , $Var (Y) = \frac{35}{12}$ (zie de vorige opgave).
$X + Y$ neemt alleen de waarde $7$ aan dus $Var (X + Y) = 0$ .

c

De somregel voor de verwachtingswaarde wel voor de variantie niet

13

a

$s$	$10$	$15$	$20$	$30$	$35$	$50$
$P (S = s)$	$\frac{9}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{1}{36}$

b

$E (S) = \frac{9}{36} \cdot 10 + \frac{12}{36} \cdot 15 + \frac{4}{36} \cdot 20 + \frac{6}{36} \cdot 30 + \frac{4}{36} \cdot 35 + \frac{1}{36} \cdot 50 = 20$ en $Var (S) = \frac{9}{36} \cdot {(10 - 20)}^{2} + \frac{12}{36} \cdot {(15 - 20)}^{2} + \frac{4}{36} \cdot 0 + \frac{6}{36} \cdot {(30 - 20)}^{2} + \frac{4}{36} \cdot {(35 - 20)}^{2} + \frac{1}{36} \cdot {(50 - 20)}^{2} = 100$ .

14

a

$y$	$5$	$10$	$25$
$P (Y = y)$	$\frac{3}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$

b

$E (Y) = \frac{3}{6} \cdot 5 + \frac{2}{6} \cdot 10 + \frac{1}{6} \cdot 25 = 10$ en $Var (Y) = \frac{3}{6} \cdot {(5 - 10)}^{2} + \frac{2}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot {(25 - 10)}^{2} = 50$

c

Ja, ja

15

a

$t$	$10$	$15$	$20$	$30$	$35$
$P (T = t)$	$\frac{3}{15}$	$\frac{6}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{2}{15}$

b

$E (T) = \frac{3}{15} \cdot 10 + \frac{6}{15} \cdot 15 + \frac{1}{15} \cdot 20 + \frac{3}{15} \cdot 30 + \frac{2}{15} \cdot 35 = 20$ en
$Var (T) = \frac{3}{15} \cdot {(10 - 20)}^{2} + \frac{6}{15} \cdot {(15 - 20)}^{2} + \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{3}{15} \cdot {(30 - 20)}^{2} + \frac{2}{15} \cdot {(35 - 20)}^{2} = 80$

16

a

Die is hetzelfde als die van $Y$ in opgave 85.

b

$E (Y) = 10$ en $Var (Y) = 50$

c

$E (X) = 10$ en $Var (X) = 50$

d

Klopt

e

Ja, klopt

f

Bij 'met terugleggen' komt de (sterk afwijkende) uitkomst $50$ ook voor.

17

a

$D$ , bij $S$ middelen de uitbetalingen elkaar uit.

b

Voor $D$ figuur 1 en voor $S$ zie figuur 2.

figuur 1

figuur 2

c

Laat $X$ het aantal ogen van de eerste dobbelsteen zijn en $Y$ van de tweede, dan
$S = X + Y$ en $Var (S) = Var (X) + Var (Y) = 2 \cdot Var (X)$ .

d

$Var (D) = \sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{6} {(2 k - 2 \cdot E (X))}^{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{6} \cdot 2^{2} \cdot {(k - E (X))}^{2} = 4 \cdot Var (X)$

18

a

$E (X)$ en $X - E (X)$ in cm, $Var (X)$ in cm² en $\sqrt{Var (X)}$ in cm

b

$E (Y) = 10 \cdot E (X)$ , $Var (Y) = 100 \cdot Var (X)$ , $\sqrt{Var (Y)} = 10 \cdot \sqrt{Var (X)}$

19

$1$ keer 7, $2$ keer 9, $8$ keer 10, $5$ keer 11
$1$ keer 8, $4$ keer 9, $6$ keer 10, $4$ keer 11, $1$ keer 12
$1$ keer 8, $3$ keer 9 , $9$ keer 10 , $1$ keer 11 , $2$ keer 12
$2$ keer 8, $1$ keer 9, $9$ keer 10, $3$ keer 11, $1$ keer 12
$2$ keer 8, $2$ keer 9, $6$ keer 10, $6$ keer 11
$2$ keer 8, $12$ keer 10 , $2$ keer 12
$5$ keer 9, $8$ keer 10, $2$ keer 11, $1$ keer 13
$8$ keer 9, $8$ keer 11

20

a

De kanstafel van $X_{1}$ is:

$x$	$0$	$1$
$P (X_{1} = x)$	$1 - p$	$p$

Dus $E (X_{1} = x) = p$ en $Var (X_{1} = x) = p$ $(1 - p) {(0 - p)}^{2} + p {(1 - p)}^{2} =$ (haal in beide termen $p (1 - p)$ buiten haakjes) $=$ $p (1 - p) (p + 1 - p) =$ $p (1 - p)$ .

b

$E (X) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{n})$ , dus $E (X) = n \cdot p$ , $Var (X) = Var (X_{1}) + Var (X_{2}) + \dots + Var (X_{n})$ $=$ $n p (1 - p)$ en $sd (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

21

a

$n = 100$ , $p = \frac{1}{2}$ , dus $sd = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 5$

b

$n = 100$ , $p = \frac{1}{3}$ , dus $sd = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = 3 \frac{1}{3} \sqrt{2}$ .