Hoofdstukken > Binomiale en normale verdelingen

De verwantschap van normale verdelingen

We vergelijken vier normale verdelingen. Omdat de oppervlakte onder een normale kromme alle gevallen vertegenwoordigt ( $100$ %), is er zo geschaald dat de oppervlaktes onder de krommen gelijk zijn.

De verdelingen gaan over:

de lengte van volwassen Nederlandse mannen (in cm),
het gewicht van een kilopak suiker (in gram),
de levensduur van TL-buizen (in uren),
het IQ van Nederlandse scholieren (in punten).

Controleer dat bij de vier krommen geldt: als een verdeling $n$ keer zo breed is, is hij ook $n$ keer zo laag.

Leg uit waarom dat zo is.

Nederlanders zijn de langste mensen ter wereld, pygmeeën in Kameroen de kortste. De volwassen Nederlandse man is gemiddeld $1,80$ meter met standaardafwijking $7$ cm. Een volwassen pygmeeman is gemiddeld $1,50$ meter met standaardafwijking $5$ cm. Van beide lengtes staat hieronder de verdeling, met gelijke oppervlakte onder de krommen.

De verdelingen lijken veel op elkaar. Je kunt die van de pygmeeën in die van de Nederlanders overvoeren door naar rechts te verschuiven en vervolgens te verbreden (op te rekken in horizontale richting ten opzichte van het midden). Dan verandert de hoogte automatisch mee.

Over welke afstand moet je naar rechts verschuiven en met welke factor moet je verbreden?

Normale verdelingen verschillen alleen wat gemiddelde en wat standaardafwijking betreft. Dat betekent dat je de ene in de andere kunt overvoeren door een horizontale verschuiving (van het ene gemiddelde naar het andere), gevolgd door een horizontale verbreding of versmalling (van de ene standaardafwijking naar de andere).

Stel dat het aantal grammen suiker $S$ in een pak normaal verdeeld is met gemiddelde $1000$ en standaardafwijking $10$ en dat de levensduur $L$ (uren) van TL-buizen normaal verdeeld is met gemiddelde $1500$ en standaardafwijking $50$ .

Hoeveel moet je de verdelingskromme van $S$ verschuiven en verbreden om die van $L$ te krijgen?

Je kunt ook zeggen dat $\dots \cdot S - \dots$ dezelfde verdeling heeft als $L$ .

Welke getallen horen op de stippellijntjes?

Neem over en vul in:
$S$ heeft dezelfde verdeling als $\dots \cdot L + \dots$ .

Opmerking:

Iets dergelijks is ook aan de hand bij parabolen. Als twee parabolen een verticale symmetrieas hebben, kun je de ene zo verschuiven en oprekken dat hij precies op de andere valt; eventueel moet je nog spiegelen in de $x$ -as.

Uitzonderlijk

Gemiddeld bedraagt de temperatuur in De Bilt in de maand juli $17,4$ °C. In 2010 was de gemiddelde juli-temperatuur in De Bilt $19,2$ °C.

Is dat uitzonderlijk hoog? Wat denk jij?

Anneke simuleert op de computer het gooien met een dobbelsteen. De computer “gooit” $1000$ keer. Anneke verwacht ongeveer $167$ keer zes ogen te krijgen, met een standaardafwijking van $12$ . Bij de simulatie krijgt ze $150$ keer zes ogen.

Is dit uitzonderlijk weinig? Wat vind jij?

De consumentenbond controleert $10$ kilopakken suiker. Gemiddeld behoren de pakken 1000 gram te bevatten. In de steekproef bleken acht pakken minder dan $1000$ gram te bevatten.

Vind jij dit uitzonderlijk?

Vaak is het lastig om, zo op het oog, te beoordelen of een waarneming uitzonderlijk is. Daarvoor hebben we het volgende.
Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking. Bepaal hoeveel keer de standaardafwijking de waarneming van het gemiddelde afwijkt. Hoe hoger dit aantal keer, des te uitzonderlijker is de waarneming.

Het aantal keer de standaardafwijking dat een waarneming afwijkt van het gemiddelde, noemen we de z-waarde van die waarneming.
In formule: $z -waarde = \frac{waarneming - gemiddelde}{standaardafwijking}$ .

We bekijken nog eens de lengte (in cm) van de volwassen man met $μ = 180$ en $σ = 7$ . De lengte van een Nederlandse volwassen man van $2,00$ meter heeft $z$ -waarde $\frac{200 - 180}{7} \approx 2,86$ .

Hoe lang is een volwassen man met $z$ -waarde van - $2,86$ ?

Hoe lang is een volwassen man met $z$ -waarde $1$ ?

Hoe lang is een volwassen man met $z$ -waarde $0$ ?

We bekijken de lengte in een groep $16$ -jarige jongens en in een groep $16$ -jarige meisjes. Bij de jongens is de gemiddelde lengte $178$ cm en de standaardafwijking $7$ cm. Bij de meisjes is de gemiddelde lengte $168$ cm en de standaardafwijking $6$ cm.
Een jongen en een meisje uit deze groepen zijn beiden erg lang: de jongen $196$ cm en het meisje $186$ cm.

Bereken de $z$ -waarde van de lengte van de jongen en van de lengte van het meisje.
Welk van de twee vind jij het meest uitzonderlijk?

Als de waarneming zelf normaal verdeeld is, is de $z$ -waarde dat ook, en wel met gemiddelde $μ = 0$ en standaardafwijking $σ = 1$ . We zeggen dat de $z$ -waarde standaardnormaal verdeeld is.
De normale verdeling met gemiddelde $μ = 0$ en standaardafwijking $σ = 1$ is de “standaard” onder de normale verdelingen. Elke normale verdeling is daarop terug te voeren door van de waarneming de gemiddelde waarneming af te trekken en vervolgens door de standaardafwijking te delen.
[Vergelijk dit met de “standaard” $y = x^{2}$ onder de parabolen.]
In formule: als $X$ normaal verdeeld is met gemiddelde $μ$ en standaardafwijking $σ$ , dan is de stochast $Z = \frac{X - μ}{σ}$ standaardnormaal verdeeld.

Het overstappen op de standaardnormale verdeling noemen we standaardiseren.

$X$ is normaal verdeeld met gemiddelde $1000$ en standaardafwijking $25$ .
$Y$ is standaardnormaal verdeeld.

Leg uit dat de kans dat $X > 1035$ gelijk is aan de kans dat $Y > 1,4$ .

Neem over en vul in: de kans dat $X > a$ is gelijk aan de kans dat $Y > \dots$ .

De vuistregels zeggen dat bij een normale verdeling de kans op een afwijking kleiner dan $1 \cdot σ$ gelijk is aan $68$ % en een afwijking kleiner dan $2 \cdot σ$ gelijk is aan $95$ %.

Wat betekent dit voor de $z$ -waarde?

Controleer deze percentages voor de standaardnormale verdeling met de GR .

Wat is de kans dat een afwijking kleiner is dan $3 \cdot σ$ ?

$X$ is bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde $222$ euro en standaardafwijking $14$ euro.

Tussen welke waarden ligt $X$ met $95$ % kans (symmetrisch om $222$ )?

Welke $z$ -waarden passen bij de volgende oppervlakten?

Bij gegeven percentages tussen twee waarden kunnen de bijbehorende $z$ -waarden meestal niet gevonden worden. We bekijken de twee situaties hieronder.

In het linkerplaatje liggen de linker- en rechtergrens even ver van het midden. Bij het rechter plaatje is dat niet zo.

Bepaal de $z$ -waarden in het linker plaatje

Kun je de $z$ -waarden ook in het rechter plaatje bepalen?

De lijn bij $z = 0$ deelt het gebied onder de standaardnormale kromme in twee symmetrische helften, elk met oppervlakte $50$ %.

Bepaal de $z$ -waarden die de oppervlakte verdelen in drie gelijke stukken.

Bepaal ook de $z$ -waarden die de oppervlakte verdelen in vier gelijke stukken en in vijf gelijke stukken.

Een machine vult pakken met $1000$ gram suiker. Althans dat is de bedoeling. Als de vulmachine ingesteld staat op $1000$ gram, zal het werkelijke gewicht van een pak normaal verdeeld zijn met gemiddelde $1000$ gram en standaardafwijking $10$ gram.

Ga na dat bijna $7$ % van de pakken een gewicht heeft van $985$ gram of minder.

Op welk gemiddelde moet de machine worden ingesteld, opdat slechts $2$ % van de pakken een gewicht heeft van $985$ gram of minder? Neem aan dat de standaardafwijking $10$ gram is, onafhankelijk van het gemiddelde waarop de machine is ingesteld.

Uit een onderzoek bleek dat de score van leerlingen bij het CSE wiskunde A1 vwo in 2000 bij benadering normaal verdeeld was. Het gemiddelde was $62$ punten en $28$ % van de leerlingen had een onvoldoende ( $54$ punten of minder).

Welke $z$ -waarde hoort bij $28$ %?

Bereken de standaardafwijking.

Bereken hoeveel punten je moet hebben om bij de $20$ % besten te horen.

Een slijter gaat op examen om het biercertificaat te halen. Het examen bestaat uit $40$ driekeuzevragen. Om te slagen moet hij ten minste $24$ vragen goed beantwoorden, dat is $60$ %.
De slijter heeft zich in het geheel niet voorbereid en zal de vragen dan ook op de gok beantwoorden. $X$ is het aantal vragen dat de slijter goed beantwoordt. Dan is $X$ binomiaal verdeeld.

Wat is de kans dat hij slaagt?

Bereken $E (X)$ en $sd (X)$ .

Vako Drankenopleidingen neemt het examen af. Vako wil dat de kans dat iemand die de vragen puur op de gok beantwoordt hoogstens $1$ % kans heeft om te slagen.

Wat is de $z$ -waarde die hoort bij het slagingspercentage van $1$ %?

Vako kan met minder dan $40$ vragen volstaan om aan de eis te voldoen dat een gokker hoogstens $1$ % kans heeft om te slagen. De slagingseis blijft dat $60$ % van de vragen goed moet zijn beantwoord. We willen weten hoeveel vragen Vako minstens moet stellen; noem dat aantal vragen $n$ . We noemen het aantal vragen dat een pure gokker goed heeft $X$ .

Druk $E (X)$ en $sd (X)$ uit in $n$ .

$X$ is bij benadering normaal verdeeld.

Leg uit dat de $z$ -waarde van het minimum aantal goede antwoorden $\frac{0,6 n - \frac{1}{3} n}{\sqrt{\frac{2}{9} n}}$ is.
Laat algebraïsch zien dat dit gelijk is aan $0,5657 \sqrt{n}$ .

Bereken de waarde van $n$ waarvoor $0,5657 \sqrt{n}$ gelijk is aan de in c gevonden waarde.
Hoeveel vragen moet Vako minimaal stellen?

Controleer het antwoord van vraag f door bij het gevonden aantal vragen de kans uit te rekenen dat een gokker slaagt.

Bij vraagstukken rond de normale verdeling draait alles om drie grootheden: het gemiddelde $μ$ , de standaardafwijking $σ$ en een percentage (dat is de oppervlakte boven een interval onder de normale kromme). De drie grootheden zijn gekoppeld: als er twee bekend zijn, kun je de derde uitrekenen. In principe zijn er dus drie verschillende soorten vragen mogelijk. Van elk soort volgt nu een voorbeeld.

$μ$ en $σ$ zijn bekend
Auto’s worden op de lopende band in elkaar gezet. Een robot heeft voor het monteren van een wiel gemiddeld $96$ seconden nodig met een standaardafwijking van $5$ seconden. Er treedt vertraging op in de hele montagelijn als de robot meer dan $110$ seconden nodig heeft.

Bereken bij hoeveel procent van de auto’s er vertraging zal optreden.

$μ$ en percentage zijn bekend
Een robot heeft gemiddeld $80$ seconden nodig voor het bevestigen van een bumper. Bij zo’n $20$ % van de auto’s is hij al na $77$ seconden klaar.

Bereken hoe groot de standaardafwijking is.

$σ$ en percentage zijn bekend
De robot die de deuren inzet, heeft daarvoor bij $8$ op de $1000$ auto’s meer dan $105$ seconden nodig. De standaardafwijking van de benodigde tijd bedraagt $4$ seconden.

Bereken hoeveel seconden de robot gemiddeld doet over zijn karwei.

Andere mogelijkheden om $μ$ of $σ$ te vinden
Stel dat je het percentage $p$ weet dat de waarde tussen $a$ en $b$ ligt. Als je bovendien $μ$ weet, kun je $σ$ vinden en omgekeerd. Daarvoor kun je de $z$ -waarde goed gebruiken. Er zijn ook allerlei andere methodes. We noemen er een paar, waarbij we $μ$ bekend veronderstellen en $σ$ zoeken. Als omgekeerd $σ$ bekend is en $μ$ moet worden gezocht, gaat het net zo.

Proberen
Doe een gok voor $σ$ en bereken bij die gok hoe groot het percentage is bij de bekende $μ$ en gegokte $σ$ tussen $a$ en $b$ . Pas de gok $σ$ aan zodat dat percentage dichter bij $p$ komt te liggen, net zo lang totdat je tevreden bent.
Met een grafiek
Teken de grafiek van het percentage tussen $a$ en $b$ bij de bekende $μ$ , als functie van $σ$ . Kijk voor welke invoer $σ$ er $p$ uitkomt.
Met de GR een vergelijking oplossen
Op de GR heb je een optie om vergelijkingen op te lossen.
Zoek uit hoe dat op je GR gaat (als je dat nog niet gedaan hebt).

In een land is de gemiddelde lengte van de volwassen vrouwen onbekend; die noemen we $μ$ . In dat land is de gemiddelde lengte van de volwassen mannen $190$ cm. De standaardafwijkingen van de volwassen mannen en van de volwassen vrouwen zijn beide $7$ cm.

Maak hierbij plaatjes van de verdelingen van de lengtes:

een voor de volwassen vrouwen; geef daarin het percentage groter dan $190$ aan,
een voor de volwassen mannen; geef daarin het percentage kleiner dan $μ$ cm aan.

Het percentage van de volwassen vrouwen die langer zijn dan $190$ cm is gelijk aan het percentage van de volwassen mannen dat korter is dan $μ$ cm.

Leg dat uit met behulp van $z$ -waarden.

Zijn jongens slimmer dan meisjes of omgekeerd? Er is veel onderzoek gedaan naar eventueel verschil in intelligentie van jongens en meisjes. De resultaten spreken elkaar soms tegen; bovendien ligt het onderwerp politiek en sociaal gevoelig. Op Wikipedia is onder andere te vinden: Analysing data from the international PISA student evaluation study, Machin and Pekkarinen found higher variance in boys' than girls' results on mathematics and reading tests in most OECD countries…. en A study by Rosalind Arden and Robert Plomin from 2006 found greater variance among boys than among girls.
Laten we eens van het volgende uitgaan:

het IQ van jongens is normaal verdeeld met gemiddeld $100$ ,
het IQ van meisjes is normaal verdeeld met gemiddelde $100$ ,
de standaardafwijking van het IQ van jongens is $16$ , die van het IQ van meisjes is $14$ .

Schets de normale krommen van de IQ’s in één figuur.

Het valt op dat er bij w4kangoeroe veel meer jongens onder de prijswinnaars zijn dan meisjes. Neem maar aan dat er evenveel jongens als meisjes meedoen aan w4kangoeroe.
Gezien bovenstaande is het logisch dat er meer jongens onder de prijswinnaars zijn.

Leg dat uit.

Stel dat je $500$ jongens en $500$ meisjes hebt.

Hoeveel jongens en hoeveel meisjes hebben een IQ boven $128$ ?

Hoeveel procent van de leerlingen met een IQ boven $128$ is jongen?

Hieronder staan de groeicurves voor meisjes van $0$ t/m $36$ maanden. Je kunt er bijvoorbeeld uit aflezen dat $25$ % van de meisjes van $26$ maanden $85$ cm of korter is. En dat $90$ % van de meisjes van $18$ maanden $12,6$ kg of minder weegt.

We letten op het gewicht na $36$ maanden. Je kunt zien dat dan het gewicht niet zuiver normaal verdeeld is.

Hoe zie je dat? Laat in een schets zien hoe de verdelingskromme van het gewicht afwijkt van de normale verdeling.

We letten op de lengte na $36$ maanden. Veronderstel dat dan de lengte van meisjes normaal verdeeld is.

Bepaal de standaardafwijking van de lengte.