Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

Verschilrijen

Bij een rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... kun je de verschillen tussen de opvolgende termen bekijken. Dat is de rij $a_{1} - a_{0}$ , $a_{2} - a_{1}$ , $a_{3} - a_{2}$ , ... .... . Deze rij heet de verschilrij van $a$ . Meestal wordt de verschilrij $v$ genoemd. Dus:
$v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ ( $n = 1$ , $2$ , $3$ , ...)

Opmerking:

Merk op dat de rij $a$ begint met rangnummer $0$ en de verschilrij $v$ met rangnummer $1$ .

De verschilrij van een rekenkundige rij is een constante rij.
In het volgende kijken we naar de verschilrij van een meetkundieg rij.

De bekende schilder Remco Brandt is bezig een abstract schilderij te maken. Het vierkante doek waar hij op schildert is $2$ bij $2$ meter. Hieronder zie je een aantal stadia van het schilderij.

In stadium $0$ schildert Remco $1$ m² oker.

Hoeveel schildert Remco in stadium $1$ oker?
En in stadium $n$ ?

Remco besluit om te stoppen als hij in een stadium is aangekomen, waarbij nog hooguit $1$ mm² oker geschilderd wordt. In welk stadium is dat?

Het aantal m² dat Remco in stadium $n$ oker schildert noemen we $a_{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ .

Wat voor een rij is de rij $a_{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ ?

Schrijf de eerste vier termen van de verschilrij $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ , $n = 1, 2, 3, ...$ op.

Het ziet er naar uit dat de verschilrij weer een meetkundige rij is.

Geef een directe formule voor de verschilrij.

Een formule voor de verschilrij kun je ook als volgt vinden.

Neem over en vul aan: $v_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n} - {(\frac{1}{4})}^{n - 1} = 1 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} - ... \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} = ... \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}$ .

Gegeven is de rij $a$ met: $a_{n} = 3 \cdot 2^{n}, n = 0,1,2,...$ .

Maak op de GR een tabel voor de verschilrij $v$ (met $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ voor positieve gehele getallen $n$ ).

Zo te zien is de verschilrij weer een meetkundige rij.

Geef een directe formule voor de verschilrij $v$ .

Opmerking:

De verschilrij van een meetkundige rij is een meetkundige rij met dezelfde reden.
In de volgende opgave bewijzen we dit.

Bekijk de rij $a$ met $a_{n} = b \cdot r^{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ en de verschilrij hiervan: $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ , $n = 1, 2, 3, ...$ .

Toon aan: $v_{n} = b \cdot (1 - \frac{1}{r}) \cdot r^{n}$ .

De meetkundige rij $a$ met $a_{n} = b \cdot r^{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ heeft verschilrij $v_{n} = b \cdot (1 - \frac{1}{r}) \cdot r^{n}$ , is dus meetkundig met dezelfde reden ( $r$ ), en beginterm $v_{1} = b \cdot (r - 1)$ .

Bekijk de fractalapplet . Neem voor het aantal takken $2$ en voor de factor $0,7$ en druk een aantal malen op "volgend"niveau". Het startniveau (met één lijntje) noemen we niveau $0$ .

Hoeveel lijntjes worden er op niveau $10$ getekend?

Ga na dat de lijntjes op niveau $4$ nog geen kwart van de lengte hebben als het lijntje waarmee de applet startte.

Het aantal lijntjes dat op niveau $n$ getekend wordt, noemen we $a_{n}$ en het totaal aantal getekende lijntjes tot en met niveau $n$ noemen we $s_{n}$ .
Dan geldt: ${\begin{cases} s_{0} = a_{0} \\ s_{n} = a_{n} + s_{n - 1} \end{cases}, n = 1, 2, 3, ...$ .

Geef een directe formule voor $a_{n}$ en voer de rijen $a_{n}$ en $s_{n}$ in in de GR.

Door de rijen $a_{n}$ en $s_{n}$ op de GR te vergelijken, zal het je niet moeilijk vallen een directe formule voor $s_{n}$ te geven.

Doe dat.

Een zeesterrenkweker brengt zijn diertjes onder in vijfhoekige bakjes die, voor zover dat kan, tegen elkaar zijn geplaatst. Hieronder staat het patroon van de bakjes.

Eén van de diertjes is geïnfecteerd met een zeer besmettelijk virus. De besmetting wordt over gebracht, als twee bakjes met een hele zijkant tegen elkaar staan. We nemen aan dat de infectie zich uiterst regelmatig uitbreidt: als op een dag de buurman van een gezonde zeester wordt besmet, is die zeester één dag later zelf ook besmet. Zodoende wordt het aantal besmette dieren stapsgewijs groter (elke dag een stap). De ene zeester die op dag $0$ besmet was (daar is het allemaal mee begonnen) is aangegeven met “ $0$ ”. Ga na dat er op dag $1$ drie nieuwe besmettingsgevallen zijn.

Geef op het werkblad met kleur aan welke cellen op dag $2$ worden besmet. Ook zo op dag $3$ , $4$ en $5$ .
Maak een tabel:

dagnummer $n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
aantal nieuwe infecties $N_{d}$
totaal geïnfecteerde $T_{d}$

Geef een formule voor $N_{d}$ .

Ga na dat de formule $T_{d} = 1 \frac{1}{2} d^{2} + 1 \frac{1}{2} d + 1$ klopt voor de eerste zes dagen in de tabel.

We spreken af: $T_{1} = N_{1}$ .
Met het 'dominoeffect' is duidelijk dat de formule voor $T_{d}$ voor alle positieve gehele waarden van $d$ juist is als geldt:
$N_{d} = T_{d} - T_{d - 1}$ .

Toon dat $N_{d} = T_{d} - T_{d - 1}$ voor alle positieve gehele waarden van $d$ .

De rij van Padovan is een rij gehele getallen $P_{n}$ die gedefinieerd wordt door:
${\begin{cases} P_{0} = P_{1} = P_{2} = 1 \\ P_{n} = P_{n - 2} + P_{n - 3} \end{cases}, n = 3, 4, 5, ...$ .
Hieronder zie je een spiraal van gelijkzijdige driehoeken met zijden volgens de rij van Padovan.

In het plaatje kun je onder andere zien dat $P_{11} = 16$ .

Bereken $P_{12}$ en $P_{13}$ .

Gegeven is: $P_{18} = 114$ , $P_{19} = 151$ , $P_{20} = 200$ .

Bereken hiermee $P_{16}$ .

De iteratiefunctie

Leeglopende ballon
Gasballonnen verliezen langzaam hun draaggas. Een zekere ballon heeft aan het eind van een dag $5$ % minder draaggas dan in het begin van die dag. Aan het begin van elke dag wordt de hoeveelheid draaggas gemeten.

Hoeveel keer zo groot wordt de hoeveelheid draaggas in één dag?

De hoeveelheid draaggas in het begin van dag $n$ noemen we $d_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
met $d_{0} = 100$ .

Stel een directe formule op voor $d_{n}$ .

Het verlies aan draaggas op dag $n$ noemen we $v_{n}$ , $n = 1, 2, 3, \dots$
Er is een formule voor $v_{n}$ in de vorm $v_{n} = a \cdot r^{n}$ .

Geef die formule via een exacte berekening.

Bereken exact op welke dag het verlies voor het eerst minder dan $1$ % bedraagt.

Recycling
Voor de fabricage van papier wordt in Nederland $60$ % oud papier gebruikt. Het oude papier wordt gemengd met nieuw papier, want de vezels worden bij recycling steeds minder bruikbaar. Als er een vel papier gemaakt wordt, mag je er dus van uitgaan dat $60$ % ervan al eerder gebruikt is, en $40$ % nieuw papier is.

Ga na dat het percentage dat precies twee keer gebruikt is, gelijk is aan $14,4$ .

Het percentage van een vel papier dat precies $n$ keer gebruikt is, noemen we $p_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Druk $p_{n}$ uit in $p_{n - 1}$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ .

Stel een directe formule op voor $p_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Vraagstukken als opgave 46 en 47 heb je al vaker gezien. Het zijn (eenvoudige) voorbeelden van discrete dynamische modellen.
Bij deze vraagstukken is het gemakkelijk een directe formule te maken, het zijn meetkundige rijen. Vanwege hun directe formules spreekt men wel van exponentiële modellen.

Vlinders en rupsen
We kijken nog eens naar opgave 2 . $V_{n}$ is het aantal vlinders in het jaar $n$ , $R_{n}$ is het aantal rupsen in het jaar $n$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
$V_{0} = 1000$ , $R_{0} = 3000$ , $R_{n} = 2 \cdot V_{n - 1}$ , $V_{n} = 0,6 \cdot R_{n - 1}$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ .

Hieruit volgt dat: $V_{n} = 1,2 \cdot V_{n - 2}$ en dat $R_{n} = 1,2 \cdot R_{n - 2}$ .

Laat dat zien.

Laat zien dat $V_{100} = {1,2}^{50} \cdot 1000$ .

De directe formule voor $V_{n}$ ziet er in het geval dat $n$ even is anders uit dan in het geval dat $n$ oneven is.

Geef die formules.

Hetzelfde is het geval voor de directe formule van $R_{n}$

Geef de directe formules voor $R_{n}$ .

Behangen
Een rechthoekige kamer van $7$ bij $5$ meter en $2,5$ meter hoogte wordt elk jaar opnieuw behangen (we laten eventuele ramen en deuren buiten beschouwing). Men haalt het oude behang er niet af, maakt plakt het nieuwe er gewoon overheen. Het behang is $1,2$ mm dik. De oppervlakte van het behang dat men nodig heeft, wordt elk jaar kleiner. Het aantal in m² behang dat nodig is in het $n$ -de jaar noemen we $b_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
Er geldt: $b_{n} = b_{n - 1} - 0,024$ , $n = 2, 3, 4, \dots$ .

Leg dat uit.

Geef een directe formule voor $b_{n}$ , $n = 1, 2, 3, \dots$

Het discrete dynamische model in opgave 49 is nog eenvoudiger dan de exponentiële modellen. Vanwege hun directe formule spreekt men hier van een lineair model.

We gaan nu nog eens formuleren wat we onder een discreet dynamisch model verstaan.

Wat is een discreet dynamisch model?
Bij een discreet dynamisch model is er sprake van een vaste functie $F$ :
de volgende waarde vind je door de functie $F$ op
de huidige waarde toe te passen.
Met andere woorden:
waarde $\to F \to$ nieuwe waarde.
En dit herhaalt zich steeds:
$\dots u_{n - 2} \to F \to u_{n - 1} \to F \to u_{n} \to F \to u_{n + 1} \to \dots$
$F$ heet iteratiefunctie.

Iteratie betekent: herhaling.

Opmerking:

Bij opgave 2 is de zaak ingewikkelder omdat er dan sprake is van twee variabelen: het aantal vlinders en het aantal rupsen. Ook opgave 4 - Ratten wijkt af. Daar grijpt de functie $F$ niet alleen terug op de directe voorganger in de rij, maar ook op de toestand daarvoor.

Geef een formule voor de iteratiefunctie $F$ in opgave 46, opgave 47 en opgave 49.

Je kunt voor de iteratiefunctie $F$ in principe elke functie nemen, alleen is dat meestal niet zinvol. We bekijken een paar voorbeelden.

Neem voor $F$ de wortelfunctie. Dus $u (n + 1) = \sqrt{u (n)}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Neem $u (0) = 20$ en maak een tabel voor de rij $u (n)$ op de GR.

Om te weten te komen hoe groot $u (100)$ is hoef je niet de hele tabel vanaf $n = 0$ door te lopen.

Zoek uit hoe je met jouw GR $u (100)$ direct kunt vinden.

De waarden $u (n)$ komen steeds dichter bij een zekere grenswaarde, de zogenaamde limiet.

Welk getal is de limiet?

Onderzoek wat de limiet is bij andere startwaarden $u (0)$ .

In deze opgave nemen we voor $F$ de ketting $[PLUS 2] \to [WORTEL]$ , dus $F (x) = \sqrt{x + 2}$ en $u_{n} = F (u_{n - 1}) = \sqrt{u_{n - 1} + 2}$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ .
We nemen eerst $u_{0} = 20$ .

Maak een tabel voor de rij $u_{n}$ op de GR.

Hoe groot is $u_{100}$ ?

Welke limietwaarde vind je?

Onderzoek wat de limiet is bij andere startwaarden $u_{0}$ .

We nemen nu $F (x) = x (4 - x)$ , dus $F (u_{n - 1}) = u_{n - 1} (4 - u_{n - 1})$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ .

Neem $u_{0} = 1$ .

Maak een tabel voor de rij $u_{n}$ op de GR.
Hoe groot is $u_{100}$ ?

Neem $u_{0} = 1 \frac{1}{2}$ .

Maak een tabel voor de rij $u_{n}$ op de GR. Het gedrag van de rij is nu chaotisch
Hoe groot is $u_{100}$ ?

Bij de startwaarden $1$ en $2$ is het gedrag van de rij snel super-regelmatig.
Bij startwaarde $1 \frac{1}{2}$ is het gedrag van de rij nogal chaotisch. We vragen ons af hoe het gedrag van de rij is als je iets van de startwaarden $1$ en $2$ afwijkt.
Neem bijvoorbeeld $u_{0} = 1,99$ en ook $u_{0} = 2,01$ .

Wordt de rij regelmatig? Heeft hij een limiet denk je?

In de volgende paragraaf gaan we nader in op het berekenen van limieten.