Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

In deze paragraaf leiden we een directe formule af voor een rij waarvan de iteratiefunctie lineair is.

Jaap heeft $1$ miljoen euro in de lotto gewonnen. Hij wil er goed van gaan leven. Hij zet het bedrag tegen $10$ % rente op een bank. Na een jaar neemt hij $60.000$ euro op; de rest van het kapitaal laat hij tegen $10$ % rente per jaar op de bank staan. Op het eind van het tweede jaar neemt hij weer $60.000$ euro op, enzovoort. Zo kan hij een luxe leven leiden en wordt hij elk jaar toch nog rijker. We gaan na hoe het kapitaal op de bank zich ontwikkelt.
Jaaps kapitaal op de bank na $n$ jaar - direct als hij $60.000$ euro heeft opgenomen, noemen we $A_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ . Er geldt: $A_{0} = 1.000.000$ .

Bereken $A_{1}$ , $A_{2}$ en $A_{3}$ .

Er is een functie $F$ , zó, dat $A_{n} = F (A_{n - 1})$ .

Geef de formule voor deze iteratiefunctie $F$ .

Maak een webgrafiek bij de functie $F (x) = 1,1 x - 60.000$ op de GR of met GeoGebra.

Hoeveel euro bedraagt Jaaps kapitaal na $7$ jaar ?

Een rente van $10$ % lijkt nu veel, maar in de jaren $70$ van de vorige eeuw was de hypotheek rente een tijdje boven de $13$ %.
In de NRC van 7 mei 2018 staat het volgende.

Zo bont als de Argentijnse peso maken weinig valuta het. Deze munt verloor vorige week meer dan $10$ procent van zijn waarde ten opzichte van de dollar, voordat de Argentijnse centrale bank vrijdag ingreep met een drastische renteverhoging. De rente ging van $33,25$ naar $40$ procent – de derde verhoging in korte tijd.

In de volgende opgaven rekenen we vaker met hoge rentepercentages (en in het gulden-tijdperk). Dat rekent gemakkelijker.

Annuïteitenhypotheek
De heer Jansen heeft voor een verbouwing € $80.000$ van de bank geleend. Elk jaar lost hij een deel van zijn schuld af. Van de resterende schuld betaalt hij het volgend jaar $10$ % rente (dit bedrag wordt dus steeds kleiner). Hij betaalt aan rente en aflossing samen elk jaar € $10.000$ .
Deze hypotheekvorm (waarbij er elk jaar evenveel aan rente en aflossing samen betaald wordt) heet annuïteitenhypotheek.

$A_{n}$ is het bedrag (in euro) dat Jansen aflost op het eind van het $n$ -de jaar. Dus $A_{1} = 2.000$ , $A_{2} = 2.200$ , $\dots$ .

Neem de tabel over en vul hem in.

Als je de rij $A_{n}$ in de tabel bekijkt, blijkt hij exponentieel te groeien.

Wat is de groeifactor?

Er is een functie $F$ , zó, dat $A_{n} = F (A_{n - 1})$ .

Geef de formule van $F$ .

Geef een directe formule voor $A_{n}$ .

$S_{n}$ is de schuld (in euro) die Jansen aan het begin van het ne jaar aan de bank heeft.
Dus $S_{1} = 80.000$ , $S_{2} = 78.000$ , $\dots$

Geef de recursieve formule waarin $S_{n}$ wordt uitgedrukt in $S_{n - 1}$ .

Wat is de iteratiefunctie $G$ zodat: $S_{n} = G (S_{n - 1})$ ?

Maak met de GR of in GeoGebra een webgrafiek bij de functie $G$ .

In dit geval begint het web in het snijpunt en verplaatst zich in de richting van de oorsprong $O (0,0)$ .

Wat betekent het in termen van de context dat de 'stappen' steeds groter worden?

Hoe kun je met het web bepalen in welk jaar Jansen zijn schuld heeft afgelost? (Dan stopt de procedure natuurlijk.)

Je kunt ook met behulp van de directe formule van $A_{n}$ berekenen in welk jaar Jansen zijn schuld heeft afgelost.

Hoe?

Leg uit dat geldt: $0,1 S_{n} + A_{n} = 10.000$ voor $n = 1, 2, 3, \dots,16$ .
Hoe volgt hieruit dat $S_{n} = 100.000 - 20.000 \cdot {1,1}^{n - 1}$ ?
Controleer de formule met de GR.

Jaap heeft elk jaar, op 1 januari, € $1000$ op de bank gezet tegen $10$ % rente per jaar. Hij wil weten hoeveel hij nu, na $10$ jaar bij elkaar heeft gespaard, inclusief de € $1000$ die hij net gestort heeft. $B_{n}$ is het bedrag (in euro) dat hij na $n$ jaar op de bank heeft.
${\begin{cases} B_{0} = 1000 \\ B_{n} = 1,1 \cdot B_{n - 1} + 1000 \end{cases}$ $n = 1, 2, 3, \dots$ .
Het eerste bedrag van € $1000$ dat hij op zijn rekening stortte staat nu $10$ jaar op de bank, het tweede bedrag van € $1000$ staat nu $9$ jaar op de bank, enzovoort.
€ $1000$ na $10$ jaar is nu € $1000 \cdot {1,1}^{10}$ ,
€ $1000$ na $9$ jaar is nu € $1000 \cdot {1,1}^{9}$ ,
$\dots$
€ $1000$ na $2$ jaar is nu € $1000 \cdot {1,1}^{2}$ ,
€ $1000$ na $1$ jaar is nu € $1000 \cdot {1,1}^{1}$ ,
€ $1000$ na $0$ jaar is nu € $1000 \cdot {1,1}^{0}$ .
Het kapitaal dat Jaap op de bank heeft is dus:
$B_{10} = 1000 \cdot ({1,1}^{10} + {1,1}^{9} + \dots + {1,1}^{2} + {1,1}^{1} + {1,1}^{0})$ .

Toon aan: $B_{10} = 10.000 \cdot ({1,1}^{11} - 1)$ .

(hint)

Gebruik de formule voor de somrij van een meetkudige rij.

Controleer de uitkomst door de rij $B_{n}$ op de GR te berekenen met de formules: ${\begin{cases} B_{0} = 1000 \\ B_{n} = 1,1 \cdot B_{n - 1} + 1000 \end{cases}$ .

Anne heeft hetzelfde gedaan als Jaap (in de vorige opgave), maar haar eerste storting was € $3450$ , alle volgende jaren € $1000$ . Daarover ontvangt zij ook elk jaar $10$ % rente.
$A_{n}$ is het bedrag (in euro) dat Anne na $n$ jaar op de bank heeft.

Vul in:
$A_{0} = \dots$
$A_{n + 1} = 1,1 \cdot A_{n} + \dots$ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ .

Ga na dat $A_{10} = 3450 \cdot {1,1}^{10} + 1000 \cdot \frac{{1,1}^{10} - 1}{1,1 - 1}$ .

Gegeven is de iteratiefunctie $F : x \to a x + b$ , met $a \neq 1$ . De rij $A_{n}$ , $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ is gedefinieerd door $A_{n + 1} = F (A_{n})$ , $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ . Dan is een directe formule voor $A_{n}$ :
$A_{n} = A_{0} \cdot a^{n} + b \cdot \frac{a^{n} - 1}{a - 1}$ .

Als de richtingscoëffiënt van de lineaire iteratiefunctie $1$ is.
Als de iteratiefunctie van de vorm $F : x \to x + b$ is, kun je de formule hierboven niet gebruiken.

Waarom niet?

Wat voor soort rij is de rij $A_{n}$ met $A_{n + 1} = F (A_{n})$ dan?

Geef een directe formule voor $A_{n}$ (uitgedrukt in $n$ en $A_{0}$ ).

Opmerking:

Als de iteratiefunctie $F : x \to x + b$ is, en $A_{n + 1} = F (A_{n})$ , dan is de rij $A_{n}$ rekenkundig en een directe formule voor $A_{n}$ is:
$A_{n} = A_{0} + n \cdot b$ .

In opgave 100 is sprake van het model:
${\begin{cases} A_{0} = 3450 \\ A_{n} = 1,1 \cdot A_{n - 1} + 1000 \end{cases} n = 1, 2, 3, \dots$ .

Voer de rij in op de GR en bereken $A_{20}$ .

Je kunt $A_{20}$ ook berekenen met de directe formule in het theorieblok hierboven.

Doe dat.

Voor de medicijnspiegel van opgave 3 geldt: $M_{n} = 0,75 \cdot M_{n - 1} + 1500$

Laat zien dat $M_{n} = 6000 \cdot (1 - {0,75}^{n})$ , als $M_{0} = 0$ .

Wat kun je zeggen over ${0,75}^{n}$ als $n$ erg groot is? Hoe vind je hiermee de limietwaarde van de medicijnspiegel?

In opgave 98 heb je een directe formule voor $S_{n}$ (de totale schuld) gegeven via een formule voor $A_{n}$ (het afgeloste bedrag). Er geldt:
${\begin{cases} S_{0} = 80.000 \\ S_{n} = 1,1 \cdot A_{n - 1} - 10.000 \end{cases} n = 1, 2, 3, \dots$ .

Geef de directe formule voor $S_{n}$ met de formule uit het theorieblok. Herschrijf deze formule tot de formule die je in opgave 98 gevonden hebt.

In opgave 97 was gegeven de rij $A_{n}$ met:
${\begin{cases} A_{0} = 1.000.000 \\ A_{n} = 1,1 \cdot A_{n - 1} - 60.000 \end{cases} n = 1, 2, 3, \dots$ .

Toon aan: $A_{n} = 400.000 \cdot {1,1}^{n} + 600.000$ , $n = 0, 1, 2, \dots$

We bekijken vier iteratiefuncties $F$ , $G$ , $H$ en $K$ , met
$F : x \to ‐ x + 9$ , $G : x \to ‐ \frac{3}{4} x + 7$ , $H : x \to x + 2$ en
$K : x \to 1 \frac{1}{3} x - 1 \frac{2}{3}$ .
De grafieken staan hieronder met de lijn $y = x$ .

Teken in elk rooster twee webgrafieken: één met startwaarde $2$ en één met startwaarde $6$ .

In welke gevallen is er sprake van een limietwaarde? Wat kun je zeggen in de andere gevallen?

Geef een directe formule voor elk van de 8 gevallen.
Bij de twee gevallen met de functie $H$ kun je de formule
$A_{n} = A_{0} \cdot a^{n} + b \cdot \frac{a^{n} - 1}{a - 1}$ niet gebruiken.

We bekijken nog eens de rij uit opgave 104 met startwaarde $2$ en iteratiefunctie $G$ :
$A_{n} = ‐ 2 \cdot {(‐ \frac{3}{4})}^{n} + 4$ .

Hoe kun je aan de directe formule zien dat de rij $A_{n}$ limietwaarde $4$ heeft? Hoe kun je aan de formule zien dat de rij $A_{n}$ 'om de limietwaarde heen springt'?

De rij uit opgave 104 met startwaarde $2$ en iteratiefunctie $K$ heeft formule: $A_{n} = ‐ 3 \cdot {(1 \frac{1}{3})}^{n} + 5$ .

Hoe kun je aan de directe formule zien dat $A_{n}$ geen limietwaarde heeft?
Hoe kun je aan de directe formule zien dat de rij $A_{n}$ dalend is?

Met startwaarde $6$ en iteratiefunctie $K$ , krijg je de rij $A_{n}$ met formule: $A_{n} = {(1 \frac{1}{3})}^{n} + 5$ .

Hoe kun je aan de directe formule zien dat $A_{n}$ geen limietwaarde heeft?
Hoe kun je aan de directe formule zien dat de rij $A_{n}$ stijgend is?

Gegeven is de rij $A_{n}$ met iteratiefunctie $F : x \to a x + b$ met $a \neq 1$ en beginterm $A_{0}$ .
Dan is een directe formule voor $A_{n}$ :
$A_{n} = \frac{b}{1 - a} + (A_{0} - \frac{b}{1 - a}) \cdot a^{n}$ .

Toon dat aan.

Gegeven is de rij $A_{n}$ met iteratiefunctie $F : x \to a x + b$ en beginterm $A_{0}$ .
Als $a = 1$ , is de rij $A_{n}$ rekenkundig en een directe formule voor $A_{n}$ is: $A_{n} = A_{0} + n \cdot b$ .
Als $a \neq 1$ , dan is $A_{n} = \frac{b}{1 - a} + (A_{0} - \frac{b}{1 - a}) \cdot a^{n}$ een directe formule voor de rij $A_{n}$ .
Als $‐ 1 < a < 1$ convergeert de rij naar $\frac{b}{1 - a}$ .
Als $a > 1$ of $a < ‐ 1$ convergeert de rij niet.
Als $a = ‐ 1$ , dan is de rij periodiek met periode $2$ .

Gegeven is de rij $A_{n}, n = 0, 1, 2, \dots$ met $A_{n + 1} = 0,8 \cdot A_{n} + 50, n = 0, 1, 2, \dots$ en $A_{0} = 500$ .

Convergeert de rij? Zoja, wat is de limietwaarde?

Geef een directe formule voor de rij $A_{n}$ .

Een andere rij $B_{n}$ heeft dezelfde iteratiefunctie en directe formule $B_{n} = 400 + 250 \cdot {0,8}^{n}$ .

Wat is de startwaarde $B_{0}$ ?

Rente per maand en rente per jaar
$1$ % rente per maand levert meer op dan $12$ % per jaar.

Bereken de jaarrente (in %) als de rente per maand $1$ % is. Rond je antwoord af op één decimaal.

Dit rentepercentage noemen we de effectieve rente op jaarbasis.

Onderstaande advertentie van Frisia komt uit de VARA-gids van 18 september 1999.

Ga na of de effectieve rente op jaarbasis met de rente per maand klopt.

Bereken de rente per maand als de effectieve rente op jaarbasis $11$ % is. Ronde je antwoord af op twee decimalen.

Diverse verzekeringsmaatschappijen adverteren met hun beleggingsfondsen. Hieronder staat er een van Spaarbeleg uit de Volkskrant van 15 september 1999.

In de advertentie is sprake van fondsrendement en productrendement. Spaarbeleg brengt kosten in rekening. Als deze op het fondsrendement in mindering worden gebracht, krijg je het productrendement. In de eerste regel van de advertentie lees je: bij een productrendement van $11,9$ % en een inleg van ƒ $100$ per maand wordt na $20$ jaar een eindkapitaal van ƒ $90.900$ uitgekeerd.

Maak een kolom bij een inleg ƒ $250$ , zoals in de advertentie gedaan is voor bedragen van ƒ $100$ , ƒ $150$ en ƒ $200$ .
Hoe heb je dat gedaan? Kun je dit principe ook toepassen als je een rij toe wil voegen, waarbij het fondsrendement $20,0$ % is ?

We gaan het bedrag van ƒ $81.600$ controleren bij een inleg van ƒ $100$ ,- per maand en een productrendement van $11,0$ %.

De waarde van het gestorte bedrag in guldens na n maanden, inclusief $11$ % 'rente' noemen we $A_{n}$ .

Geef een formule voor de bijbehorende iteratiefunctie $F$ .

Controleer of het bedrag van ƒ $81.600$ klopt met de GR.

Controleer met een directe formule voor $A_{n}$ of het bedrag van ƒ $81.600$ klopt