1

Stoppen met roken
Begin januari zijn er in een bedrijf $400$ rokers en $600$ nietrokers.
Eind januari rookt $90$ % van de rokers nog steeds, terwijl $20$ % van de niet-rokers is bezweken voor de tabak. Zie het diagram hiernaast.
We nemen aan dat het diagram voor alle volgende maanden blijft gelden.
Het aantal rokers op 1 januari van maand $n$ noemen we $R_{n}$ , het aantal niet-rokers $N_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

a

Druk $R_{n}$ uit in $R_{n - 1}$ en $N_{n - 1}$ .
Doe hetzelfde voor $N_{n}$ .

b

Maak op de GR een tabel voor de rijen $R_{n}$ en $N_{n}$ .

c

Hoeveel rokers en niet-rokers zijn er op 1 januari van het volgende jaar?

Bij de rij $R_{n}$ hoort een lineaire iteratiefunctie $F$ .

d

Geef een formule van $F$ .

Het aantal rokers/nietrokers stabiliseert.

e

Bepaal de limietwaarde van de rij $R_{n}$ .

f

Geef een directe formule voor de rij $R_{n}$

2

De rij kwadraten: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 4$ , $a_{3} = 9$ , ... kom je tegen bij het stapelen van kogels, zie de figuur hiernaast. Daar zie je een stapel van $5$ hoog.
Het aantal kogels op een stapel van $n$ hoog noemen we $s_{n}$ . Dus $s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i^{2}$ .

a

Stel een recursieve formule op voor $s_{n}$ .

b

Hoeveel kogels liggen er op een stapel van $20$ ?

c

Hoeveel kogels liggen er op de onderste tien lagen van een stapel van $20$ hoog.

3

Boer Poelen is melkveehouder. In de loop van de tijd is zijn aantal koeien toegenomen. Hij schaft om werk te besparen een melkrobot aan ter waarde van $145.000$ euro. Het geld voor de aanschaf van de melkrobot wordt geleend van een bank tegen $5$ % rente per jaar. Boer Poelen betaalt aan het eind van elk jaar een vast bedrag van $12.000$ euro voor aflossing en rente van de lening samen. Met behulp van deze gegevens kun je een recursieve formule opstellen voor de rij $L (n)$ , de resterende schuld na jaar $n$ .

a

Stel deze formule op en bereken daarmee met behulp van de GR hoeveel jaar het zal duren voordat de melkrobot helemaal is afbetaald.

b

Geef een directe formule voor de rij $L (n)$ .

c

Bepaal met de directe formule hoeveel jaar het duurt voor de robot is afgelost.

4

Gegeven is de rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... met $a_{0} = 8$ en $a_{3} = ‐ 1$

a

Bereken exact de som van de eerste tien termen van de rij als de rij $a$ een rekenkundige rij is.

b

Bereken exact de som van de eerste tien termen van de rij als de rij $a$ een meetkundige rij is.

Gegeven is de rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... met $a_{0} = 1$ en $a_{6} = 8$

c

Bereken exact de som van de eerste dertien termen van de rij als de rij $a$ een rekenkundige rij is.

Gegeven is de rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... met $a_{0} = 8$ en $a_{6} = 1$

d

Bereken $a_{9}$ exact als de rij meetkundig is.

5

Bekijk de rekenkundige rijen $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... en $b_{0}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , ... met
$a_{0} = 2$ , $a_{1} = 6$ , $a_{2} = 10$ , ... en
$b_{0} = 4$ , $b_{1} = 8$ , $b_{2} = 12$ , ... .

a

Geef een directe formule voor $a_{n}$ en voor $b_{n}$ .

$s_{n}$ is de som van de eerste $n + 1$ termen van de rij $a$ en $t_{n}$ is de som van de eerste $n + 1$ termen van de rij $b$

b

Geef een directe formule voor $s_{n}$ en $t_{n}$ .

6

Van een rij $a$ is gegeven: $a_{2} = 10$ en $a_{20} = 55$ .

Neem aan dat de rij rekenkundig is.

a

Geef een directe formule voor $a_{n}, n = 1,2,3,...$ .

Neem aan dat de rij meetkundig is.

b

Bereken de reden van de rij in drie decimalen nauwkeurig.

7

In figuur 1 ontstaat de sneeuwvlokkromme. Je ziet niveau 0, 1 en 2. De verdere ontwikkeling kun je in de applet Sneeuwvlokkromme bekijken. Je begint op niveau 0 met een gelijkzijdige driehoek met omtrek $27$ .
In elke volgende stap wordt elk lijntje in drie gelijke stukken verdeeld. Het middelste stukje wordt vervangen. De vier lijntjes van zijn even lang, zie figuur 2.

figuur 1

figuur 2

a

Vul de laatste twee kolommen van de tabel in.

	niveau $0$	niveau $1$	niveau $2$	niveau $3$
lengte lijntje	$9$	$3$
aantal lijntjes	$3$	$12$
lengte kromme	$27$	$36$

b

Geef een directe formule voor $l_{n}$ , $a_{n}$ en $k_{n}$ .

Er is een verband tussen $l_{n}$ , $a_{n}$ en $k_{n}$ .

c

Schrijf dat op. Klopt dat bij jou?

8

Op een eiland heerst een ziekte. Op 1 januari 2010 hadden $8000$ de ziekte, op 1 januari 2011 $15000$ en op 1 januari 2012 $28000$ .
Om de toekomstige ontwikkeling van de ziekte op het eiland te voorspellen, stelt een onderzoeker een logistisch model op:
$A_{n} = a \cdot A_{n - 1} + b \cdot {(A_{n - 1})}^{2}$ , voor zekere $a$ en $b$ .
Hierbij is $A_{n}$ het aantal zieken in het jaar 2000 $+ n$ in duizenden. Dus $A_{0} = 8$ , $A_{1} = 15$ en $A_{2} = 28$ .

a

Bereken hieruit algebraïsch de getallen $a$ in één decimaal en $b$ in vier decimalen nauwkeurig.

b

Schrijf de gelijkheid $A_{n} = a \cdot A_{n - 1} + b \cdot {(A_{n - 1})}^{2}$ in de vorm $Δ A_{n} = \dots A_{n - 1} (\dots - A_{n - 1})$ , met op de stippellijnen getallen in drie decimalen.
NB. $Δ A_{n} = A_{n} - A_{n - 1}$ .

Het verzadigingsniveau wordt bereikt als $Δ A_{n} = 0$ .

c

Wat is het verzadigingsniveau?

9

Evenwicht
In de macro-economie geven economen met wiskundige modellen het verband aan tussen grootheden als:
$Y_{t} =$ nationale inkomen op tijdstip $t$
$C_{t} =$ consumptie op tijdstip $t$
$I_{t} =$ investeringen op tijdstip $t$
Een voorbeeld is het volgende model dat bestaat uit drie vergelijkingen.
Voor $t = 1, 2, 3, \dots$ geldt:
$Y_{t} = C_{t} + I_{t}$
$C_{t} = 0,8 \cdot Y_{t - 1} + 20$
$I_{t} = 10$ .
Neem $Y_{0} = 40$ .
We spreken van een evenwichtsinkomen als de waarde van $Y_{t}$ niet verandert op opeenvolgende tijdstippen.

a

Bepaal de lineaire iteratiefunctie voor $Y_{t}$ en met behulp daarvan het evenwichtsinkomen.

Op het werkblad is een assenstelsel getekend. Met een webgrafiek kunnen we grafisch duidelijk maken dat bij verschillende startwaarden $Y_{0}$ op den duur hetzelfde evenwichtsinkomen bereikt wordt.

b

Laat dit zien in het assenstelsel op het werkblad met een webgrafiek waarbij de startwaarde $Y_{0}$ kleiner is dan het evenwichtsinkomen. Laat in dezelfde figuur zien dat dit óók geldt met een startwaarde $Y_{0}$ die groter is dan het evenwichtsinkomen.

c

Geef een directe formule voor $Y_{t}$ ingeval $Y_{0} = 40$ .

10

Veel zalm
De bioloog W. Ricker heeft veel onderzoek gedaan naar zalm in Canadese rivieren. Jaarlijkse tellingen hebben uitgewezen dat de omvang van de zalmpopulatie sterk fluctueert. Zo komt het voor dat de omvang van de populatie na een jaar meer dan verdubbeld is. Weer een jaar later is de omvang dan weer meer dan gehalveerd.
Ricker ontwikkelde rond 1955 een model dat goed bruikbaar is om dit verschijnsel te beschrijven. In deze opgave bestuderen we het model:
$P (t + 1) = 9 \cdot P (t) \cdot {0,99}^{P (t)}$ met beginwaarde $P (0)$ .
In deze recursievergelijking is $t$ het aantal jaren na 1984 (het tijdstip $t = 0$ komt dus overeen met 1 januari 1984) en is $P (t)$ het aantal zalmen in duizendtallen aan het begin van het betreffende jaar.

In de figuur is de grafiek getekend van de functie $F : x \to 9 x \cdot {0,99}^{x}$ . Ook is de grafiek van $y = x$ getekend. Deze figuur is eveneens, vergroot, op het werkblad afgebeeld. In de grafiek kun je zien dat het model twee evenwichtswaarden heeft. Eén ervan is $P (t) = 0$ .

a

Bereken de tweede evenwichtswaarde algebraïsch.

Als we voor de beginwaarde de evenwichtswaarde kiezen dan zal de rij $P (0)$ , $P (1)$ , $P (2)$ , $\dots$ steeds dezelfde (evenwichts)waarde hebben. Een evenwichtswaarde noemen we stabiel als bij keuzes van de beginwaarde in de buurt van de evenwichtswaarde geldt: de rij $P (0)$ , $P (1)$ , $P (2)$ , $\dots$ nadert tot die evenwichtswaarde.

b

Onderzoek met een webgrafiek op het werkblad of de tweede evenwichtswaarde van het model stabiel is.

De ontwikkeling van de populatie volgens dit model hangt af van de beginwaarde $P (0)$ . Het is mogelijk deze beginwaarde zo te kiezen dat de populatie al direct het volgende jaar zijn maximale omvang bereikt.

c

Bereken met de GR bij welke beginwaarde dit het geval is.