De afgeleide van een machtsfunctie

In het voorgaande hebben we gezien:
als $y = x^{a}$ , dan $y^{'} (x) = a \cdot x^{a - 1}$ .
De regel geldt voor alle positieve gehele getallen $a$ en ook voor $a = ‐ 1$ (ga dat na).
In de volgende drie opgaven bewijzen we dat de regel voor elk rationaal getal $a$ geldt.
(Een rationaal getal is geheel of een breuk, positief of negatief.)

Regel voor het differentiëren van machtsfuncties
Als $y = x^{a}$ , dan $y^{'} (x) = a \cdot x^{a - 1}$ .
Deze regel geldt voor alle rationale getallen $a$ .

Gegeven is de ketting $x \to u \to y$ , met $u = x^{\frac{1}{5}}$ en $y = u^{5}$ .

Druk $y$ uit in $x$ .
Wat is dus $\frac{d y}{d x}$ ?

Omdat $\frac{d y}{d u} = 5 u^{4}$ volgt uit het vorige onderdeel en de kettingregel ( $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ ) dat $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{5 u^{4}}$ .

Ga dat na en laat zien dat $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{5} x^{‐ \frac{4}{5}}$ .

Voor welke waarde van $a$ heb je nu de regel voor het differentiëren van machtsfuncties laten zien?

$x \to u \to y$ , met $u = x^{\frac{1}{5}}$ en $y = u^{3}$ .

Druk $y$ uit in $x$ .

Uit de kettingregel en de voorgaande opgave volgt:
$\frac{d y}{d x} = 3 u^{2} \cdot \frac{1}{5} x^{‐ \frac{4}{5}}$ .

Ga dat na en druk $\frac{d y}{d x}$ in $x$ uit.

Voor welke $a$ is de regel voor het differentiëren van machtsfuncties nu bewezen?

In opgave 25 hebben we aangetoond dat de regel voor $a = \frac{3}{5}$ geldt. Voor andere positieve getallen $a$ gaat het net zo. In opgave 26 bewijzen we de regel voor negatieve getallen $a$ .

We bekijken de ketting $x \to u \to y$ met $u = x^{\frac{3}{5}}$ en $y = u^{‐ 1}$ .

Druk $y$ uit in $x$ .

Bepaal $\frac{d y}{d x}$ met de kettingregel. Druk het resultaat uit in $x$ .

Regels combineren

Als $y = \sqrt{x}$ , dan $y^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Bovenstaande regel is een speciaal geval van de regel voor het differentiëren van machtsfuncties.

Toon dat aan.

Wat houdt de regel voor het differentiëren van machtsfuncties in voor $a = 0$ ?

Voorbeeld:

De afgeleide van de functie $f$ met $f (x) = x^{2} \sqrt{x}$ vind je door $x^{2} \sqrt{x}$ te schrijven als $x^{2 \frac{1}{2}}$ , dus $f^{'} (x) = 2 \frac{1}{2} x^{1 \frac{1}{2}} = 2 \frac{1}{2} x \sqrt{x}$ .
Bij de functie $g$ met $g (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ kun je $g (x)$ schrijven als $x^{‐ 1 \frac{1}{2}}$ , dus $g^{'} (x) = ‐ 1 \frac{1}{2} x^{‐ 2 \frac{1}{2}} = ‐ \frac{3}{2 x^{2} \sqrt{x}}$ .
De functie $h$ met $h (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ is de ketting $x \to u \to y$ , waarbij $u = x^{2} + 1$ en $y = \sqrt{u}$ .
Dus $h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 2 x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
De afgeleide van de functie $k$ met $k (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 x^{2}}$ vind je door de afgeleide van de functies $p$ en $q$ met
$p (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ en $q (x) = \frac{1}{2 x^{2}}$ te bepalen en die vervolgens op te tellen (je past de somregel toe).
De afgeleide van $p$ hebben we al bepaald, zie boven, en de afgeleide van $q$ vind je door $\frac{1}{2 x^{2}}$ te schrijven als $\frac{1}{2} x^{‐ 2}$ , dus $q^{'} (x) = ‐ x^{‐ 3}$ en $k^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{x^{3}}$ .

Schrijf $y$ telkens eerst in de vorm $p \cdot x^{a} + q \cdot x^{b}$ .
Differentieer daarna en schrijf het resultaat zonder negatieve of gebroken exponenten.

$y = 4 x \sqrt[3]{x}$	$y = \frac{1}{4 x \sqrt[3]{x}}$
$y = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3}}$	$y = \frac{2 x \sqrt{x} + x}{x^{3}}$
$y = (x + 1) \sqrt{x}$	$y = {(3 x \sqrt[3]{x})}^{2}$

Differentieer de functies $f$ , $g$ , $h$ en $k$ (vereenvoudigen hoeft niet).

$f (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$	$g (x) = \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x + 2}$
$h (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}}$	$k (x) = 2 x \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}}$

Een V-vormige drinkbak voor het vee is $1$ meter lang; de opstaande randen maken hoeken van $45 °$ met de grond. Als het water in de bak $a$ dm hoog staat, staat er $10 a^{2}$ liter water in.

Toon dat aan.

Op gegeven moment zit er nog $40$ liter water in de bak. De boer vult de bak bij. Er stroomt $2$ liter water per minuut in de bak.
De hoogte van het water in de bak na $t$ minuten vullen, noemen we $h (t)$ dm.

Toon aan: $h (t) = \sqrt{0,2 t + 4}$ .

De snelheid waarmee het water op tijdstip $t$ stijgt in de bak is $h^{'} (t)$ .

Geef een formule voor $h^{'} (t)$ .

Bereken exact met welke snelheid (in mm/min) de waterhoogte stijgt als het water $25$ cm hoog staat.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{64} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{3}$ .

Teken de grafiek van $f$ op de GR.

Bereken de nulpunten van $f (x)$ exact.

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ . Laat de haakjes staan.

Bereken exact de eerste coördinaat van de punten op de grafiek van $f$ met een horizontale raaklijn.

Er geldt: $f (1 + a) = f (1 - a)$ voor alle $a$ .

Toon dat aan.

Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

Opmerking:

In een punt van de grafiek waar de raaklijn horizontaal is, hoeft de functie niet maximaal of minimaal te zijn. Dat zie je in opgave 31. Daarom is het, als er naar een maximum of minimum gevraagd wordt, niet voldoende om naar punten met een horizontale raaklijn te kijken.
Je zou de grafiek in de buurt van zo'n punt kunnen tekenen of uit de context op kunnen maken of er sprake is van een maximum of minimum.

De functie $f_{c}$ is gegeven door $f_{c} (x) = (x^{2} - 11 x + c) \sqrt{x}$ , voor $c > 0$ . In de figuur hieronder links is de grafiek van de functie $f_{28} (x) = (x^{2} - 11 x + 28) \sqrt{x}$ getekend.

Bereken exact de $x$ -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f_{28}$ met de $x$ -as.

Op de grafiek van $f_{28}$ ligt punt $A$ . Punt $A$ is een top van de grafiek.

Bereken met behulp van differentiëren de coördinaten van $A$ .

In de figuur rechts is voor enkele waarden van $c$ de grafiek van $f_{c}$ getekend.

Bereken exact voor welke waarde van $c$ de grafiek van $f_{c}$ de $x$ -as raakt.