$1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $28$

$2556$, $2415$

$\frac{1}{2}\cdot 100\cdot (100+1)=5050$

$\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot (1000+1)=500.500$

$\frac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)$

$s_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{n-1}+a_n$ en $s_{n-1}=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{n-1}$, dus $s_n-s_{n-1}=a_n$ voor alle getallen $n\ge 2$.

$\{\begin{array}{l}{s}_1=1\\ s_n=s_{n-1}+n\text{(}n=\mathrm{2,}\text{3}\text{,}\text{4}\text{,}\dots \text{)}\end{array}$

-

$s_n=\frac{1}{2}n(n+1)$

-

$s_n-s_{n-1}=\frac{1}{2}n(n+1)-\frac{1}{2}(n-1)n=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n=n$

-

Die betrekking is: $\{\begin{array}{l}{s}_1=1\\ s_n=s_{n-1}+n^2\end{array}\text{ voor }n=\mathrm{2,3,}\dots$.

$55$ ; $91$ ; $140$

$338.350$

$\frac{1}{2}\cdot 11\cdot (3+53)=308$

De treden worden steeds evenveel langer.

Omdat de treden steeds evenveel langer worden.

Als je de lengte van alle treden van het trapje bij elkaar optelt, krijg je $s_n$.
De rechthoek bestaat uit twee trapjes, dus als je lengte van alle (horizontale) banen bij elkaar optelt, krijg je $2\cdot s_n$. De rechthoek heeft $n+1$ banen; alle banen zijn even lang: $a_0+a_n$.
In totaal levert dat $(n+1)(a_0+a_n)$. Dus $2s_n=(n+1)(a_0+a_n)$;
dus $s_n=\frac{1}{2}\cdot (n+1)(a_0+a_n)$.

$103$$=a_{20}$, dus te berekenen is: $s_{20}=\frac{1}{2}\cdot (20+1)(a_0+a_{20})=21\cdot 53=1113$.

$b_n=2n-1$, $b_{100}=199$

$\frac{1}{2}\cdot 100\cdot (1+199)=10.000$

$2n-1=99\iff n=50$, je telt dus $50$ termen op. De som is: $\frac{1}{2}\cdot 50\cdot (1+99)=2500$.

$t_n=\frac{1}{2}\cdot n(1+2n-1)=n^2$

-

$c_n=2n$

$u_n=\frac{1}{2}\cdot n(2n+2)=n^2+n$

-

$t_n$ is de som van de eerste $n$ oneven getallen; $u_n$ is de som van de eerste $n$ even getallen.
Tezamen levert dat de som van de eerste $2n$ getallen en dat is $s_{2n}$, dus $t_n+u_n=s_{2n}$.

$t_n=n^2$, $u_n=n^2+n$ en $s_{2n}=\frac{1}{2}\cdot 2n(1+2n)=n+2n^2$, dus klopt inderdaad: $s_{2n}=t_n+u_n$.

$y_n=27+4n$, ($n=0$, $1$, $2$, ...).

$27+4n=207\iff n=45$, dus de som bestaat uit $46$ termen.

$\frac{1}{2}\cdot 46(27+207)=5382$

-