10.9 Extra opgaven

Hoofdstukken > Discrete analyse

We bekijken de rij van kwadraten: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 4$ , $a_{3} = 9$ , ... .
In deze opgave gaan we een recursieve betrekking voor de rij opstellen. Deze wordt van de vorm ${\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n} = a_{n - 1} + ... (n = 2, 3, 4,...) \end{cases}$ .
Wat er op de plaats van de puntjes komt te staan is verschillend voor elke waarde van $n$ . Zo geldt: $a_{2} = a_{1} + 3$ , $a_{3} = a_{2} + 5$ , $a_{4} = a_{3} + 7$ , $a_{5} = a_{4} + 9$ .

Vul in: $a_{20} = a_{19} + ...$ .

Om te bepalen wat er op de plaats van de puntjes moet komen te staan in de formule $a_{n} = a_{n - 1} + ...$ moet je het verschil $a_{n} - a_{n - 1}$ uitdrukken in $n$ .

Gebruik de directe formule om dit verschil te berekenen.

Neem de recursieve formule bovenaan over en vul op de plek van de puntjes de juiste uitdrukking in $n$ in.

De term $a_{n}$ uit de rij kun je ook opvatten als de oppervlakte van het vierkant met zijde $n$ . De zijde van het witte vierkant hiernaast is $n - 1$ . De oppervlakte is dus $a_{n - 1}$ . De oppervlakte van het gehele vierkant is $a_{n}$ .

Gebruik het plaatje om $a_{n} - a_{n - 1}$ uit te drukken in $n$ .

De rij kwadraten: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 4$ , $a_{3} = 9$ , ... kom je tegen bij het stapelen van kogels, zie de figuur hiernaast. Daar zie je een stapel van $5$ hoog.
Het aantal kogels op een stapel van $n$ hoog noemen we $s_{n}$ . Dus $s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i^{2}$ .

Stel een recursieve formule op voor $s_{n}$ .

Hoeveel kogels liggen er op een stapel van $20$ ?

Hoeveel kogels liggen er op de onderste tien lagen van een stapel van $20$ hoog.

Boer Poelen is melkveehouder. In de loop van de tijd is zijn aantal koeien toegenomen. Hij schaft om werk te besparen een melkrobot aan ter waarde van $145.000$ euro. Het geld voor de aanschaf van de melkrobot wordt geleend van een bank tegen $5$ % rente per jaar. Boer Poelen betaalt aan het eind van elk jaar een vast bedrag van $12.000$ euro voor aflossing en rente van de lening samen. Met behulp van deze gegevens kun je een recursievergelijking (recursieve formule) opstellen voor $L (n)$ , de resterende schuld na jaar $n$ .

Stel deze recursievergelijking op en bereken daarmee hoeveel jaar het zal duren voordat de melkrobot helemaal is afbetaald.

Fibonacci
circa 1170 – 1250

In het boek Liber Abaci van Leonardo van Pisa, die ook wel Fibonacci (= zoon van Bonacci) werd genoemd, komt de beroemde konijnenrij voor.
Het boek, dat in 1202 verscheen, heeft veel bijgedragen aan de verspreiding van het tientallig stelsel in West-Europa. Mede door dit boek is de wiskunde na de Middeleeuwen tot bloei gekomen.
De konijnenrij bekijken we in de volgende opgave.

Deze opgave gaat over de rij van Fibonacci.
Fibonaccikonijnen gaan nooit dood. Vanaf zijn tweede levensjaar werpt een fibonaccikonijn één jong per jaar (mannetjes en vrouwtjes kennen de fibonacci's niet). In het (begin van het) jaar $1$ is er $1$ fibonaccikonijn.

Leg uit dat er in het (begin van) jaar $1$ nog steeds $1$ konijn is en dat in het (begin van) jaar $2$ er $2$ konijnen zijn.

Maak een tabel van het aantal konijnen in het begin van de jaren:

jaar	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
aantal	$1$	$1$	$2$

Het aantal konijnen in het begin van jaar $n$ noemen we $u (n)$ .

Leg uit dat geldt: $u (n) = u (n - 1) + u (n - 2)$ voor alle gehele getallen $n > 1$ .

Een recursieve formule voor deze rij is: ${\begin{cases} u (0) = 1 \\ u (1) = 1 \\ u (n) = u (n - 1) + u (n - 2) (n = 2, 3, 4, \dots) \end{cases}$
Merk op dat je, om een volgende term te berekenen, de twee vorige moet optellen. Vandaar dat er ook twee beginwaarden gegeven zijn.

Voer deze recursieve formule in op je GR.

Maak een tabel van de rij op je GR en lees af vanaf welk jaar er voor het eerst meer dan $100$ konijnen zijn.

Bepaal hoeveel konijnen er in het jaar $40$ zijn.

Opmerking:

Het is niet zo eenvoudig een directe formule voor de rij van Fibonnaci op te stellen.

We construeren als volgt een speciale rij:

kies een natuurlijk getal; dit is de nulde term van de rij,
is het getal oneven, vermenigvuldig het dan met $3$ en tel er $1$ bij op;
is het even, deel het dan door $2$ .

Regel 2 maakt van de nulde term een nieuw getal: de eerste term van de rij. Herhaal regel 2 met de eerste term; dat levert je de tweede term. Enzovoort.

Kies als nulde term: $3$ .

Ga na dat je dan de volgende rij krijgt: $3$ , $10$ , $5$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ , $4$ , $2$ , $1$ , ... .

Welke rij vind je als je begint met $7$ ?

Welke rij vind je als je begint met $1024$ ?

De rij die je krijgt als je begint met $9$ kun je ook beschrijven met een recursieve formule:
${\begin{cases} t_{0} = 9 \\ t_{n} = {\begin{cases} 3 t_{n - 1} + 1 als t_{n - 1} oneven is \\ \frac{1}{2} t_{n - 1} als t_{n - 1} even is \end{cases} \end{cases}$ .
Helaas kunnen we deze formule niet op de GR invoeren.

Maak de rij die hoort bij deze recursieve formule. Merk op dat $t_{3} = 7$ ; vanaf dan weet je hoe de rij verder gaat.

Lothar Collatz 1910 – 1990

De rijen in Extra opgave 5 heten Syracuse-rijen (naar de stad Syracuse in de USA). Bij de rij die begint met $7$ , is de $16$ e term gelijk aan $1$ . Vanaf dat moment wordt de rij regelmatig: het patroon $4$ , $2$ , $1$ herhaalt zich steeds.
Als je begint met $9$ , duurt het iets langer voordat die herhaling optreedt. Bij deze rij is de $19$ e term pas $1$ .
Je kunt ook met $27$ beginnen; dan is de $111$ e term pas $1$ .
De Syracuse-rij is bekend vanwege de volgende vraag, bekend als het vermoeden van Collatz uit 1937. Bestaat er een begingetal waarbij de Syracuse-rij zich nooit zal herhalen volgens het patroon 4, 2, 1? Met een simpel programmaatje op de computer kun je bij elk begingetal nagaan of de rij zich volgens het patroon $4$ , $2$ , $1$ gaat herhalen. Niemand heeft een begingetal ontdekt waarvoor die herhaling niet optreedt. Voor alle begingetallen tot een miljard is aangetoond dat de bijbehorende rij zich gaat herhalen. Maar daarmee is nog niet bewezen dat dat ook bij alle getallen het geval is.

figuur 1

Een bal wordt water geduwd. We nemen aan dat de bal daarbij niet vervormt: hij blijft mooi rond.
De afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak noemen we $x$ en $W$ het volume van de bal dat onder water is zie figuur 1. De bal wordt helemaal onder water geduwd.
Precies één van de vier toenamendiagrammen in figuur 2 past bij het onder water duwen van de bal.

Welk van de vier? Licht je antwoord toe.

figuur 2

Lenneke heeft haar studie psychologie in september 2002 succesvol afgerond. Tijdens haar studie heeft zij geld geleend van de IBG (Informatie Beheer Groep). In de loop van 2004 kreeg zij van de IBG het zogenoemde Bericht Terugbetalen. Daaruit komt het volgende citaat.
Geachte mevrouw, Volgens onze gegevens moet u per 1 januari 2005 beginnen met de terugbetaling van uw studieschuld. Op 1 januari 2005 bedraagt deze schuld 3011 euro. U kunt uw schuld ineens betalen, maar u mag dit ook in maandelijkse termijnen doen. In uw situatie is deze maandelijkse termijn vastgesteld op 45,41 euro en dit bedrag zal op de laatste dag van iedere maand van uw rekening worden afgeschreven.
Bij het terugbetalen berekent de IBG een rente van 0,3% per maand.
Lenneke besloot destijds om vanaf januari 2005 elke maand 45,41 euro af te lossen. De hoogte van haar schuld $S_{n}$ na $n$ maanden voldoet dus aan de volgende recurrente betrekking.
$S_{n + 1} = 1,003 \cdot S_{n} - 45,41$ met $S_{0} = 3011$ .
Bij de Oudejaarsloterij van december 2005 wint Lenneke $2500$ euro. Zij besluit dit bedrag op 1 januari 2006 voor haar aflossing te gebruiken.

Heeft Lenneke op 2 januari 2006 nog schulden bij de IBG? Licht je antwoord met een berekening toe.

Een bedrijf maakt bijzondere verpakkingen. Het bedrijf heeft onderzocht hoe de kosten voor het maken van die verpakkingen samenhangen met het aantal verpakkingen.
Het verband tussen de totale kosten $T K$ (in duizenden euro’s) en het aantal geproduceerde verpakkingen $q$ (in duizendtallen) zie je in figuur 1. In figuur 1 lees je bijvoorbeeld af dat bij een productie van $2000$ verpakkingen de totale kosten $15.000$ euro zijn.

In figuur 2 zie je vier diagrammen A, B, C en D, waarin de toename $Δ T K$ van $T K$ is weergegeven. Eén van de vier diagrammen past bij de grafiek in figuur 1.

Welk toenamendiagram past bij de grafiek in figuur 1? Licht je antwoord toe.

Eind januari 1997 brak in Nederland de varkenspest uit. Om verspreiding van de ziekte te voorkomen is elk bedrijf waar deze ziekte werd geconstateerd, geruimd. Dat hield in dat alle varkens van zo’n bedrijf werden afgevoerd. Vanaf het begin publiceerde het Ministerie van Landbouw, Natuurbeheer en Visserij wekelijks bij hoeveel bedrijven er tot dan toe varkenspest was geconstateerd. Dit noemen we het aantal besmette bedrijven. De eerste telling op vrijdag 7 februari 1997 (we noemen dat $n = 0$ ) leverde $4$ besmette bedrijven op. Vier weken later waren er in totaal $37$ bedrijven besmet. Dat betekent dus dat er in de periode van 7 februari – 7 maart bij $33$ bedrijven varkenspest werd ontdekt.
In tabel hieronder zie je enkele resultaten van die tellingen.

einddatum week	7 februari	7 maart	4 april	2 mei
aantal weken vanaf het begin	$n = 0$	$n = 4$	$n = 8$	$n = 12$
aantal besmette bedrijven	$4$	$37$	$68$	$151$

Je kunt narekenen dat het aantal besmette bedrijven in de periode 7 maart – 4 april relatief minder toenam dan in de periode 4 april – 2 mei.

Ga dit na door te berekenen met hoeveel procent het aantal besmette bedrijven toenam in elk van beide perioden.

Het resultaat van de wekelijkse tellingen zie je in figuur 1 weergegeven in de vorm van een globale grafiek. De tijd waarop deze grafiek betrekking heeft, beslaat bijna een jaar.

figuur 1

Het resultaat van de wekelijkse tellingen kunnen we ook weergeven in een toenamendiagram. In figuur 2 staan vier toenamendiagrammen over dezelfde periode als waarover figuur 1 is getekend. De wekelijkse toename van het aantal besmette bedrijven wordt met staafjes aangegeven.
Eén van deze vier toenamendiagrammen past goed bij figuur 1.

figuur 2

Welke van de vier past goed bij figuur 1? Licht je antwoord toe.

Begin april 1997 zocht men naar een model waarmee het verdere verloop van de varkenspest voorspeld zou kunnen worden. Op basis van de aantallen besmette bedrijven voor $n = 0$ , $n = 4$ en $n = 8$ kwam men tot de volgende recursieformule: $B_{n + 1} = ‐ 0,012 \cdot {B_{n}}^{2} + 1,85 \cdot B_{n}$
In deze formule is $B_{n}$ het aantal besmette bedrijven na $n$ weken, gerekend vanaf 7 februari 1997.

Wanneer we met behulp van de GR de eerste afgeronde waarden van $B_{n}$ volgens dit model berekenen en vergelijken met de werkelijke aantallen uit de voorgaande tabel, krijgen we de volgende tabel.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$8$
$B_{n}$	$4$	$7$	$13$	$22$	$34$	$70$
werkelijk aantal	$4$				$37$	$68$

Je ziet dat voor $n = 0$ , $n = 4$ en $n = 8$ de waarden volgens het model redelijk goed overeenkomen met de werkelijke waarden. Voor hogere waarden van $n$ geeft het model uitkomsten die nogal afwijken van de werkelijkheid. Voor bijvoorbeeld $n = 12$ is de afwijking al heel groot.

Bereken hoeveel het aantal besmette bedrijven volgens dit model afwijkt van het werkelijke aantal op 2 mei 1997.

Een ander model waarmee het verdere verloop van de varkenspest in april 1997 voorspeld zou kunnen worden, is gebaseerd op meetkundige rijen. Met de aantallen besmette bedrijven op $n = 4$ en $n = 8$ uit de eerste tabel kan de reden van de rij worden bepaald.

Geef een schatting, op basis van deze meetkundige rijen, van het aantal besmette bedrijven op $n = 16$ .

In een artikel van 19 mei 2001 in de Volkskrant wordt de ontwikkeling van de zeehondenpopulatie in de Nederlandse Waddenzee beschreven.
De grafiek in de figuur komt uit dit artikel.

Bekijk de volgende periodes van $10$ jaar: 1960-1970, 1970-1980, 1980-1990, 1990-2000.

Teken een toenamendiagram van het aantal getelde zeehonden bij deze perioden.

Van een rij $a$ is gegeven: $a_{2} = 10$ en $a_{20} = 55$ .

Neem aan dat de rij rekenkundig is.

Geef een directe formule voor $a_{n}$ , $n = 1,2,3,...$ .

Neem aan dat de rij meetkundig is.

Bereken de reden van de rij in drie decimalen nauwkeurig.

In figuur 1 ontstaat de sneeuwvlokkromme. Je ziet niveau 0, 1 en 2. De verdere ontwikkeling kun je in de applet Sneeuwvlokkromme bekijken. Je begint op niveau 0 met een gelijkzijdige driehoek met omtrek $27$ .
In elke volgende stap wordt elk lijntje in drie gelijke stukken verdeeld. Het middelste stukje wordt vervangen. De vier lijntjes van zijn even lang, zie figuur 2.

figuur 1

figuur 2

Vul de laatste twee kolommen van de tabel in.

	niveau $0$	niveau $1$	niveau $2$	niveau $3$
lengte lijntje	$9$	$3$
aantal lijntjes	$3$	$12$
lengte kromme	$27$	$36$

Geef een directe formule voor $l_{n}$ , $a_{n}$ en $k_{n}$ .

Er is een verband tussen $l_{n}$ , $a_{n}$ en $k_{n}$ .

Schrijf dat op. Klopt dat bij jou?

Opgaven bij paragraaf 5 en 6

Gegeven is de rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... met $a_{0} = 8$ en $a_{3} = ‐ 1$

Bereken exact de som van de eerste tien termen van de rij als de rij $a$ een rekenkundige rij is.

Bereken exact de som van de eerste tien termen van de rij als de rij $a$ een meetkundige rij is.

Gegeven is de rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... met $a_{0} = 1$ en $a_{6} = 8$ .

Bereken exact de som van de eerste dertien termen van de rij als de rij $a$ een rekenkundige rij is.

Gegeven is de rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... met $a_{0} = 8$ en $a_{6} = 1$ .

Bereken $a_{9}$ exact als de rij meetkundig is.

Bekijk de rekenkundige rijen $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... en $b_{0}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , ... met
$a_{0} = 2$ , $a_{1} = 6$ , $a_{2} = 10$ , ... en
$b_{0} = 4$ , $b_{1} = 8$ , $b_{2} = 12$ , ... .

Geef een directe formule voor $a_{n}$ en voor $b_{n}$ .

$s_{n}$ is de som van de eerste $n + 1$ termen van de rij $a$ en $t_{n}$ is de som van de eerste $n + 1$ termen van de rij $b$ .

Geef een directe formule voor $s_{n}$ en $t_{n}$ .

Bij veel sportverenigingen moet je contributie betalen. Met dit geld kunnen de kosten van de vereniging betaald worden. Voorbeelden van deze kosten zijn zaalhuur en trainers. De contributie voor een squashclub was in 1995 € $180,-$ per jaar. De contributie wordt elk jaar met $3,5$ % verhoogd. Martin is al vanaf 1 januari 1995 lid van deze squashclub.
De ontwikkeling van de contributie kun je beschrijven met een model. Een recursieve formule voor dit model is: $C (t + 1) = C (t) \cdot 1,035$ met $C (0) = 180$ .
Hierin is $C (t)$ de contributie in euro op tijdstip $t$ met $t$ in jaren en $t = 0$ in 1995.
Met een directe formule kun je de hoogte van de contributie op elk tijdstip $t$ rechtstreeks berekenen. Je hoeft dan niet eerst de contributie van het voorgaande jaar te kennen of te berekenen.

Stel een directe formule op en bereken hoeveel contributie Martin in 2010 moet betalen aan de squashclub.

Bereken hoeveel contributie Martin vanaf 1 januari 1995 tot en met 31 december 2010 in totaal heeft betaald aan de squashclub.