Hoofdstukken > Continue dynamische modellen

De gravitatieput is een trechter waarin je een munt kunt laten ronddraaien. De munt zal in een spiraal naar het midden rollen om ten slotte in het gat in het midden te verdwijnen.

Nevenstaande foto en onderstaande tekst komen van Technopolis in Mechelen.

Het muntje wordt net-niet-evenwijdig met de bovenrand van de put gelanceerd, zodat het een naar binnen spiraliserende baan beschrijft. Uiteindelijk, na een opmerkelijk lange tijd, valt het muntje in het gat onderin de put. De put heet gravitatieput omdat de baan van het muntje goed vergelijkbaar is met de baan van een komeet of een ander stuk ruimtegruis dat naar de Zon toevalt. Ook dat zal in steeds kleinere kringen om de Zon heen spiralen, om uiteindelijk verzwolgen te worden. In een nog extremere vorm is dit ook de baan van een ster die in een zwart gat gezogen wordt. De baan van de komeet naar de Zon en van de ster naar het zwarte gat zijn uiteindelijk allebei toepassingen van de wet van de zwaartekracht, ook wel de wet van de gravitatie genaamd. De baan van het muntje is ook een toepassing van die gravitatie: het gaat steeds dieper de put in door de aantrekkingskracht van de Aarde. Het muntje beweegt steeds sneller. Of lijkt het alleen maar zo, omdat de kringen die het beschrijft steeds kleiner worden?

Wat is de vorm van de gravitatieput? Welke grafiek moet je om de $y$ -as wentelen om de gravitatieput te krijgen?

Stel dat de ronddraaiende munt zich in het punt $(x, y)$ bevindt; noem de hellingshoek aldaar $α$ . Er werken twee krachten op de munt:

de verticale zwaartekracht: $m \cdot g$ ,
de horizontale middelpuntvliedende kracht: $m \cdot \frac{v^{2}}{x}$

Hierbij is $m$ de massa van de munt in kg, $v$ de snelheid van de munt in m/s en $g$ de gravitatieconstante.
Als we willen dat het muntje op elke hoogte perfecte horizontale cirkels gaat draaien, moeten de componenten van beide krachten langs de raaklijn in het punt $(x, y)$ tegengesteld zijn.

Leg uit dat daarvoor moet gelden:
$m \cdot g \cdot \sin (α) = m \cdot \frac{v^{2}}{x} \cdot \cos (α)$

Leg uit dat hieruit volgt: $\frac{d y}{d x} = \frac{v^{2}}{g} \cdot \frac{1}{x}$ .

Als de munt in een horizontale baan draait en dus niet naar beneden spiraalt, is de snelheid $v$ constant.

Ken je een functie waarvoor de formule in b geldt?

De formule in onderdeel b is een zogenaamde differentiaalvergelijking. De formule geeft een verband tussen de functie
$x \to y (x)$ en zijn afgeleide $\frac{d y}{d x}$ .
Over dergelijke verbanden gaat dit hoofdstuk.
De functie in onderdeel c heet een oplossing van de differentiaalvergelijking.
In de gravitatieput krijgt het muntje niet een horizontale beginsnelheid, maar is die iets naar beneden gericht. Daardoor zal het muntje niet in een horizontale cirkelbaan bewegen, maar zal het steeds lager komen. Daarbij neemt de snelheid van het muntje toe; het valt immers naar de aarde. Dus is $v$ niet constant. De differentiaalvergelijking wordt dan ingewikkelder.