Er komen gemiddeld $4$ auto's per uur door een rustige straat.
Je gaat aan de straat staan.
Wat is de kans dat je na $20$ minuten twee auto's gezien hebt?

We nemen stilzwijgend aan dat de auto's onafhankelijk van elkaar door de straat komen.
Definieer de stochast $X$ als het aantal auto's dat de eerste 20 minuten voorbij komt. Dan is de stochast $X$ Poisson verdeeld met parameter $\text{λ}=\frac{20}{60}\cdot 4=1\frac{1}{3}$.

In het algemeen geldt voor een Poissonverdeelde stochast $X$ met parameter $\text{λ}$: $\text{P}(X=k)=\frac{{\text{λ}}^k}{k!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}$.

Dus (in ons voorbeeld): de kans dat je na $20$ minuten twee auto's gezien hebt is $\frac{{\left(1\frac{1}{3}\right)}^2}{2!}\cdot {\text{e}}^{‐1\frac{1}{3}}=\mathrm{0,234...}$.

Je staat weer aan de rustige straat en vraagt je af hoe groot de kans is dat binnen $10$ minuten de eerste auto langskomt.

Als een aantal "successen" $X$ Poissonverdeeld is met gemiddelde $\text{λ}$ en $T$ is de tijdsduur dat je op het eerste succes moet wachten, dan $\text{P}(T\le t)=1-{\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot t}$.
Dus in ons voorbeeld is de kans dat binnen $10$ minuten de eerste auto langskomt $1-{\text{e}}^{‐\frac{10}{60}\cdot 4}=\mathrm{0,486}\dots$.

Een stochast $T$ heet exponentiëel verdeeld met parameter $\text{λ}$ als T alle positieve getallen als waarde kan aannemen en
$\text{P}(T\le t)=1-{\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot t}$ voor alle $t>0$.

De verwachtingswaarde van een Poissonverdeelde stochast $X$ met parameter $\text{λ}$ is $\text{λ}$.
De verwachtingswaarde van een exponentieel verdeelde stochast met parameter $\text{λ}$ is $\frac{1}{\text{λ}}$.

Als $X$ en $Y$ twee Poissonverdeelde stochasten met parameters $\text{λ}$ en $\text{μ}$, onafhankelijk van elkaar,
dan is $X+Y$ Poissonverdeeld met parameter $\text{λ}+\text{μ}$.

Voorbeeld
Twee winkels zijn elkaars concurrenten. Neem aan: de aantallen klanten $X$ en $Y$ die deze per uur krijgen zijn Poissonverdeeld met gemiddelden respectievelijk $\text{λ}$ en $\text{μ}$.
Stel je weet dat er in totaal $n$ klanten naar de winkels gaan, maar je weet van geen van de klanten naar welke van de twee winkels ze gaan.
Dan is het aantal klanten dat naar de eerste winkel gaat binomiaal verdeeld met $n$ herhalingen en succeskans $\frac{\text{λ}}{\text{λ}+\mu }$.

$X$ is binomiaal verdeeld met parameters $n$ en $p$, waarbij $p$ klein en $n$ groot is,
$Y$ is Poissonverdeeld met parameter $\text{λ}=p\cdot n$. Dan zijn $\text{P}(X=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot {(1-p)}^{n-k}$ en $\text{P}(Y=k)=\frac{{\text{λ}}^k}{k!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}$ nagenoeg gelijk.
Dus hebben $X$ en $Y$ nagenoeg dezelfde kansverdeling.

We zeggen dat een stochast $X$ geen geheugen heeft, als $\text{P}(X>a+b)=\text{P}(X>a)\cdot \text{P}(X>b)$ voor alle getallen $a$ en $b$.