14.2 Periodieke verschijnselen >

Hoofdstukken > Periodieke functies

Ademen
Als je gewoon, zonder erop te letten, ademhaalt, doe je dat ongeveer $12$ keer per minuut. Elke keer adem je ongeveer 'n halve liter lucht in en uit.

Kloppen deze gegevens met de grafiek hierboven (de longinhoud in liters, de tijd in seconden)?

Teken er op het werkblad nog een ademhalingscyclus bij.

Hierboven en op het werkblad staat één cyclus van de grafiek bij diep ademen.

Teken hem op het werkblad verder.

Als een stuk grafiek zich steeds weer precies herhaalt, spreken we van een periodieke grafiek. De tijdsduur van het zich herhalende stuk heet de periode. Een periodieke grafiek verandert dus niet als je hem horizontaal over één periode verschuift, naar links of naar rechts.

Hoe lang is de periode bij gewoon ademen? En bij diep ademen?

De gemiddelde longinhoud is $5$ liter.

Welk percentage wordt daarvan per ademhaling ververst bij gewoon ademen? En bij diep ademen?

Een vlinderslagzwemster zwemt in $36$ seconden een $50$ -meter bassin over. Haar trainer telt het aantal slagen: $24$ . Elke twee slagen haalt de zwemster diep adem.

Wat is de periode van de bijbehorende ademhalingsgrafiek?
Maak op het werkblad een schets van de grafiek.

Het ademen in opgave 2 is periodiek. Het aantal minuten dat het basispatroon duurt, is de periode van het ademen. De grafiek van het ademen kun je opbouwen door steeds weer het basispatroon te herhalen.

Als een stuk van de grafiek van een functie zich steeds weer precies herhaalt, spreken we van een periodieke functie. De lengte van het kleinste zich herhalende stuk (op de $x$ -as) heet de periode. De grafiek van een periodieke grafiek verandert dus niet als je hem horizontaal over één periode verschuift, naar links of naar rechts.

De naaipatronen van opgave 1 zijn ook periodiek.

Een kabelbaan
Van het grondstation $G$ loopt een kabelbaan naar de top $T$ . Voortdurend pendelt er een gondel heen en weer. Een enkele reis duurt $10$ minuten; de wachttijden in $G$ en $T$ bedragen elk $5$ minuten. $G$ ligt op $100$ meter boven de zeespiegel; $T$ ligt op een hoogte van $500$ meter.
De hoogte rekenen we in meters boven de zeespiegel, de tijd in minuten.

Teken de tijd-hoogte-grafiek. Neem aan dat de gondel op tijdstip $0$ uit $G$ vertrekt en gelijkmatig stijgt en daalt.

Wat is de periode van de beweging?

Geef de eerste vijf tijdstippen na $0$ , waarop de hoogte $400$ meter is.

Hoe hoog is de gondel op tijdstip $1000$ ?

De hoogte na $t$ minuten noemen we $H (t)$ (meter). De functie $H$ ken je helemaal als je hem voor de tijdsduur van één periode kent. Een periode valt uiteen in vier stukken: $10$ minuten stijgen, $5$ minuten in $T$ wachten, $10$ minuten dalen, $5$ minuten in $G$ wachten.

Geef een formule voor $H (t)$

als $0 \leq t \leq 10$ ;
als $10 \leq t \leq 15$ ;
als $15 \leq t \leq 25$ ;
als $25 \leq t \leq 30$ .

Er is nog een tweede gondel, met dezelfde reis- en wachttijden. Als de eerste gondel uit $G$ vertrekt, vertrekt de tweede gondel uit $T$ .

Teken in de figuur van opgave 3a de tijd-hoogte-grafiek van deze tweede gondel.

De tweede gondel maakt precies dezelfde beweging als de eerste, maar dan een vaste tijdsduur later.

Hoeveel minuten later?

$H_{2} (t)$ is de hoogte van de tweede gondel op tijdstip $t$ .

Vul in: $H_{2} (t) = H (....)$ .

Er is een eenvoudige manier om de hoogte van de tweede gondel op een tijdstip uit te rekenen als je de hoogte van de eerste gondel op dat tijdstip kent.

Wat is $H_{2} (t)$ als $H (t) = 100$ ?
Wat is $H_{2} (t)$ als $H (t) = 133$ ?
Wat is $H_{2} (t)$ als $H (t) = 499$ ?

Als je de hoogte $H (t)$ voor een zeker tijdstip kent, ken je de hoogte $H_{2} (t)$ voor datzelfde tijdstip ook.

Hoe dan?

Een beweging heet periodiek met periode 30 minuten als:

de situatie op elk moment precies dezelfde is als $30$ minuten daarvoor,
er geen kleinere positieve tijdsduur is dan $30$ minuten met deze eigenschap.

Als een voorwerp trilt, brengt het geluid voort. De toonhoogte wordt bepaald door het aantal trillingen per seconde: de frequentie. Voor het menselijk oor zijn trillingen waarneembaar met frequenties van ca. $20$ trillingen per seconde (dat klinkt heel laag) tot ca. $20.000$ trillingen per seconde (dat klinkt heel hoog). Geluidstrillingen kunnen als golven op een oscilloscoop zichtbaar gemaakt worden. De fijnere schommelingen binnen een trilling bepalen de klank. De hoogte van de golven bepaalt het volume.
De trompet en de klarinet spelen dezelfde noot (dat is de toonhoogte).

Waaraan zie je dat? Wat is de frequentie ongeveer?

Klinkt de viool hoger of lager? Waarom?

In het telefoonboek van 1985 zijn de zes telefoontonen grafisch weergegeven. Van de eerste verbindingstoon is de periode $5$ seconden.

Wat is de periode van elk van de andere tonen?

Geef de periode van de volgende periodieke "bewegingen". Sommige periodes moet je schatten.

De beweging van de aarde om de zon.
De menstruatiecyclus van de vrouw.
De hartslag van een gezonde mens in rust.
Het draaien van de grote wijzer van de klok.
Het draaien van de kleine wijzer van de klok.
De getijdebewegingen van zeeën en oceanen.

Weet je nog andere periodieke bewegingen? Denk bijvoorbeeld aan sport, verkeer, ziektes, klimaat, seizoenen. De periodes mogen best een beetje onzeker zijn.

In ons hart bevinden zich twee pompen: één voor zuurstofarm bloed dat naar de longen gepompt wordt, en één voor zuurstofrijk bloed dat naar alle delen van het lichaam gaat. Elke pomp bestaat uit twee delen die beurtelings samentrekken: de boezem en de kamer. Dit samentrekken gaat gepaard met elektrische ontladingen van de hartspier. Een elektrocardiogram (ECG) geeft de elektrische activiteit van het hart weer. Deze wordt op verschillende plaatsen van het lichaam gemeten.
Er zijn drie fasen te onderscheiden: de prikkeling van de boezem (I), de prikkeling van de kamer (II) en de ontspanning van de kamer (III). In figuur 1 zie je een cardiogram. De tijd is er in seconden bij aangegeven.

figuur 1

figuur 2

Bereken de hartslag (het aantal slagen per minuut) bij dit cardiogram.

In figuur 2 staat het cardiogram van een een patiënt met een pacemaker

Bereken de hartslag bij het cardiogram.

Hieronder en op het werkblad is de grafiek van een functie getekend. De grafiek bestaat uit een stuk dat zich steeds weer herhaalt.

Kleur een zo kort mogelijk stuk van de grafiek dat zichzelf herhaalt. Het begin mag je zelf kiezen.

Kleur nog een echt ander zichzelf herhalend stuk, zo kort mogelijk.

Wat is de periode van de functie in deze opgave?

Als $f$ een periodieke functie is met periode 3, dan geldt voor elke $x$ :
$\dots = f (x - 3) = f (x) = f (x + 3) = f (x + 6) = \dots$ .

Zaagtand
Hieronder is een "zaagtand"-grafiek getekend, die naar links en naar rechts oneindig ver door loopt. De bijbehorende functie noemen we $f$ .

Wat is de periode van $f$ ?

De grafiek van $f$ heeft twee typen symmetrie-assen.

Teken van elk type één symmetrie-as.

Er geldt: $f (1) = 1 \frac{2}{3}$ en $f (2) = 2 \frac{1}{3}$ .

Gebruik dit samen met de symmetrie en de periodiciteit van de functie om het volgende te berekenen: $f (4)$ , $f (5)$ , $f (19)$ , $f (20)$ , $f (22)$ en $f (23)$ .

Er geldt: $f (1 \frac{1}{2}) = 2$ .

Geef de eerste coördinaat $x$ van de punten op de stijgende stukken van de grafiek met: $f (x) = 2$ en $‐ 3 < x < 11$ .
Geef ook de eerste coördinaat $x$ van de punten op de dalende stukken van de grafiek met: $f (x) = 2$ en
$‐ 3 < x < 11$ .

Voor welke $x$ tussen $57$ en $71$ geldt: $f (x) = 2$ ?

Voor welke $x$ tussen $57$ en $71$ geldt: $f (x) = 1$ ?

Voor welke $x$ tussen $‐ 3$ en $11$ geldt: $f (x) = f (x + 2)$ ?

De regelmaat van de vier grafieken hieronder zet zich naar beide kanten voort.

Zijn de bijbehorende functies periodiek?

$g$ is een periodieke functie met periode $3 \frac{1}{2}$ . Hiernaast zie je (een deel van) de grafiek van $g$ . Gegeven is: $g (0) = 3$ en $g (2 \frac{1}{2}) = 3$ .

Voor welke $x$ met $‐ 10 \leq x \leq 10$ geldt: $g (x) = 3$ ?

Verder is gegeven: $g (3) = 1 \frac{1}{2}$ (de minimale waarde van de functie).

Voor welke $x$ met $‐ 10 \leq x \leq 10$ geldt: $g (x) = 1 \frac{1}{2}$ ?

Hieronder zie je de gemiddelde getijkromme te Vlissingen (boven) en IJmuiden (naar het boekje Getijtafels voor Nederland, 1985).
De waterstand is vermeld in cm boven NAP, de tijd in uren ( $6.29$ uur = $6$ uur en $29$ minuten).

Wat is de periode van de getijdebeweging van de zee?

Noem een paar verschillen tussen de twee getijkrommen.

De grafieken "golven" regelmatig om de gemiddelde zeestand. Toch hebben de golven iets onregelmatigs.

Noem een onregelmatigheid.

Op 7 februari 1985 was het om precies $3.00$ uur 's ochtends hoogwater te Vlissingen.

Hoe laat zal het hoogwater geweest zijn te Vlissingen op 8 februari 1985? (Twee tijdstippen.)

Kunstwerk op de Platz am Rathaus te Mainz