14.4 Schuiven en rekken >

Hoofdstukken > Periodieke functies

Een sinusoïde is een golf die uit de grafiek van de sinusfunctie ontstaat door (herhaald) horizontaal en verticaal te schuiven en te vermenigvuldigen (rekken).
In deze paragraaf bekijken we hoe de formule van een functie verandert bij schuiven en rekken.

Horizontaal en verticaal vermenigvuldigen

In het plaatje hierboven wordt rechthoek $R$ horizontaal vermenigvuldigd met factor $2$ . Dat wil zeggen: de afstand van elk punt van de rechthoek tot de $y$ -as wordt verdubbeld (en de afstand tot de $x$ -as blijft gelijk). Het beeld bij deze vermenigvuldiging is rechthoek $S$ .
Als je rechthoek $R$ horizontaal met factor $‐ \frac{1}{2}$ vermenigvuldigt, krijg je rechthoek $T$ .
Verticaal vermenigvuldigen gaat op soortgelijke wijze.

Lijnstuk $A B$ wordt achtereenvolgens vermenigvuldigd

verticaal met $2$ , het beeldlijnstuk is $C D$ ;
verticaal met $‐ 1$ , het beeldlijnstuk is $E F$ ;
horizontaal met $\frac{1}{2}$ , het beeldlijnstuk is $P Q$ ;
horizontaal met $‐ \frac{1}{2}$ , het beeldlijnstuk is $R S$ .

Teken de vier beeldlijnstukken in een assenstelsel.

Verticaal vermenigvuldigen met $‐ 1$ hebben we eerder gedaan onder een andere naam.

Welke?

Hiernaast zijn getekend de grafieken van de functies $f$ , $g$ , $h$ en $k$ .
De grafieken van $g$ , $h$ en $k$ ontstaan uit die van $f$ door een verticale vermenigvuldiging of verschuiving.

Zeg van elk van de drie welke vermenigvuldiging of verschuiving.

Er geldt: $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + 1$ .

Geef met behulp hiervan formules voor $g (x)$ , $h (x)$ en $k (x)$ .

Verticaal verschuiven en vermenigvuldigen
Gegeven is een functie $f$ en een getal $a$ .
Als de grafiek van $g$ uit die van $f$ ontstaat door verticaal $a$ eenheden te verschuiven, dan geldt: $g (x) = f (x) + a$ .
Als de grafiek van $h$ uit die van $f$ ontstaat door verticaal met $a$ te vermenigvuldigen, dan geldt: $h (x) = a \cdot f (x)$ .

In het volgende kijken we hoe je de formule van een functie aan moet passen bij horizontaal vermenigvuldigen en verschuiven. Dat is wat minder eenvoudig.

Gondels brengt wandelaars in $20$ minuten van $600$ tot $1800$ meter hoog. De lift beweegt gelijkmatig, zonder stoppen. Op tijdstip $0$ stapt Hans in. Zijn hoogte op tijdstip $t$ noemen we $h (t)$ . We rekenen de tijd in minuten en de hoogte in meter. Hieronder is de grafiek getekend.

Wim stapt $5$ minuten later in de volgende gondel. Zijn hoogte op tijdstip $t$ noemen $w (t)$ met $5 \leq t \leq 25$ .

Neem over en vul in:

w (5) = h (...)

w (7) = h (...)

w (t) = h (...)

Teken de grafiek van $w$ . Hoe ontstaat die uit de grafiek van $h$ ?

$10$ minuten voor Hans was Ans ingestapt. Haar hoogte op tijdstip $t$ noemen $a (t)$ met $‐ 10 \leq t \leq 10$ .

Vul in: $a (t) = h (...)$ .

Hoe ontstaat de grafiek van $a$ uit die van $h$ ?

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 0,1 x^{2} + 1$ .

Teken de grafiek van $f$ in GeoGebra (of op de GR).

Kijk wat er gebeurt als je in de invoerregel invult: $f (x - 3)$ .
En ook $f (x + 4)$ .

Kies zelf een functie $g$ en kijk wat er gebeurt als je $g (x + 3)$ en $g (x - 4)$ invoert.

Voer in GeoGebra (of de GR) een functie $f$ in, bijvoorbeeld
$f (x) = ‐ 0,1 x^{3} + 2 x$ .
Kijk wat er gebeurt als je in de invoerregel invult: $f (x - 3)$ .
En ook $f (x + 4)$ .

Gegeven een functie $f$ .

De grafiek van de functie $f$ wordt 3 eenheden naar rechts geschoven. Je krijgt de grafiek van een functie $g$ .
Er geldt: $g (x) = f (x - 3)$ .
De grafiek van de functie $f$ wordt 4 eenheden naar links geschoven. Je krijgt de grafiek van een functie $h$ .
Er geldt: $h (x) = f (x + 4)$ .

Hiernaast zijn de grafieken van $f$ , $g$ en $h$ getekend.
Er geldt: $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .
De grafiek van $g$ ontstaat uit die van $f$ door deze $2$ eenheden naar rechts te schuiven.

Geef een formule voor $g (x)$ .

De grafiek van $h$ ontstaat uit die van $g$ door deze $3$ eenheden omlaag te schuiven.

Geef een formule voor $h (x)$ .

In opgave 25 heb je weer een voorbeeld gezien van iets dat je in 3Vwo H29 hebt gehad.
De parabool met vergelijking $y = p {(x - a)}^{2} + b$ heeft top $(a, b)$ .

Een gondel brengt je in $10$ minuten van hoogte $400$ naar hoogte $900$ meter. Hiernaast staat de grafiek van de hoogte $h (t)$ (meter) van de gondel $t$ minuten na de start.
Als het hard waait, gaat de gondel (uit veiligheidsoverwegingen) half zo snel en doet hij er dus $20$ minuten over om van $400$ naar $900$ meter te komen. De hoogte van de gondel $t$ minuten na de start bij harde wind noemen we $w (t)$ .
Neem over en vul passende getallen in.

$w (20) = h (\dots)$ ; $w (12) = h (\dots)$ ; $w (t) = h (\dots)$ .

Teken de grafiek van de functie $w$ op het werkblad.

Volgend jaar wordt er een nieuwe gondel in gebruik genomen. Die is twee keer zo snel als de huidige. Zijn hoogte $t$ minuten na de start noemen we $n (t)$ . Dus $n (5) = 900$ .
Neem over en vul in.

$n (4) = h (\dots)$ ; $n (2) = h (\dots)$ ; $n (t) = h (\dots)$ .

Teken de grafiek van de functie $n$ op het werkblad.

In stad $P$ is het parkeertarief voor $t$ minuten parkeren $p (t)$ eurocent. Hiernaast staat de grafiek van $p$ .
De eerste $10$ minuten betaal je $50$ eurocent, daarna voor elke minuut $3$ eurocent.

In stad $Q$ is het veel voordeliger parkeren. Voor hetzelfde geld parkeer je daar drie keer zo lang. Het parkeertarief voor $t$ minuten parkeren in $Q$ is $q (t)$ eurocent.

Neem over en vul in:

q (30) = p (...)

q (84) = p (...)

q (t) = p (...)

Neem de grafiek van $p$ over op roosterpapier en teken er de grafiek van $q$ bij.

Hoe ontstaat de grafiek van $q$ uit die van $p$ ?

In stad $R$ is het parkeren $2$ keer zo duur als in stad $P$ van de vorige opgave.
Het parkeertarief daar voor $t$ minuten parkeren is $r (t)$ eurocent.

Neem over en vul in: $r (t) = ... \cdot p (t)$ .

Teken de grafiek van $r$ in het rooster van onderdeel b.

Hoe ontstaat de grafiek van $r$ uit die van $p$ ?

Neem een functie $f$ , bijvoorbeeld met $f (x) = \sqrt{x}$ .

Teken met GeoGebra (of de GR) de grafieken van de functies $g$ , $h$ , $j$ , $k$ , $m$ en $n$ met:

$g (x) = f (x - 2)$	$h (x) = f (x + 2)$
$j (x) = f (‐ \frac{1}{2} x)$	$k (x) = f (‐ 2 x)$
$m (x) = f (x) + 3$	$n (x) = ‐ 2 \cdot f (x)$

Kijk hoe de grafiek van

f

verschoven of gerekt wordt.

Gegeven een functie $f$ .

Neem aan: $g (x) = f (a x)$ met $a \neq 0$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ horizontaal met $\frac{1}{a}$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = a \cdot f (x)$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ verticaal met $a$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = f (x + a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar links te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x - a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) + a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar boven te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) - a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar beneden te schuiven.

Zoals bekend heeft de sinusfunctie periode $2 π$ , amplitude $1$ en evenwichtswaarde $0$ .
Hieronder is de grafiek nog eens getekend.

We gaan de grafiek van de sinusfunctie vervormen, door vermenigvuldigen en verschuiven.
We beginnen met het veranderen van de periode. Bekijk daarvoor de applet cirkel en grafiek .

Hieronder staan in één figuur de grafieken van $y = \sin (t)$ en $y = \sin (2 t)$ . De grafiek van de tweede ontstaat uit de eerste door een horizontale vermenigvuldiging met factor $\frac{1}{2}$ .

Wat is de periode van de functie $y = \sin (2 t)$ ?

Wat is de periode van de functies $y = \sin (5 t)$ en $y = \sin (a t)$ met $a \neq 0$ ?

Wat is de periode van de functie $y = \sin (\frac{2 π}{p} t)$ met $p \neq 0$ ?

De functie $y = \sin (\frac{2 π}{p} t)$ heeft periode $p$ , $p \neq 0$ .

We gaan de amplitude veranderen. Je kunt hiervoor weer de applet cirkel en grafiek bekijken door het kogeltje over een grotere cirkel te laten lopen.

Hieronder zijn in één figuur getekend de grafieken van de functies $y = \sin (2 t)$ en $y = \frac{1}{2} \sin (2 t)$

De grafiek van $y = \frac{1}{2} \sin (2 t)$ ontstaat uit die van $y = \sin (2 t)$ door verticaal te vermenigvuldigen met $\frac{1}{2}$ , dus de amplitude wordt $\frac{1}{2}$ .

Wat is de amplitude van de functie $y = 3 \sin (2 t)$ en van de functie $y = 4 \sin (3 t)$ ?

Wat is de amplitude van de functie $y = ‐ 3 \sin (2 t)$ en van de functie $y = ‐ 4 \sin (3 t)$ ?

Wat is de amplitude van de functie $y = b \cdot \sin (a t)$ , met $b > 0$ en $a \neq 0$ ?

Gegeven is de functie $y = b \cdot \sin (a t) + 1$ , met $b > 0$ en $a \neq 0$ .

Wat is de evenwichtswaarde van deze functie?

De functie $y = A \cdot \sin (\frac{2 π}{p} \cdot t) + c$ met $A > 0$ en $p \neq 0$ heeft amplitude $A$ , periode $p$ en evenwichtswaarde $c$ .

Voorbeeld:

Gevraagd wordt naar een formule voor onderstaande golf.

Uit de figuur lees je af: de amplitude $A = 2$ , de periode $p = 4 π$ en de evenwichtswaarde $c = 1$ .
Een formule is dus: $y = 2 \sin (\frac{1}{2} t) + 1$ .
Voorbeeld
Een formule voor de golf hieronder vind je op soortgelijke wijze.

Uit de figuur lees je af: de amplitude $A = 2$ , de periode $p = 4$ en de evenwichtswaarde $c = ‐ 1$ .
Een formule is dus: $y = 2 \sin (\frac{1}{2} π t) - 1$ .

Voorbeeld
Gegeven is de functie $y = 2 + 4 \sin (2 t)$ .
Gevraagd wordt exact de maximale en de minimale waarden van de functie te bepalen en voor welke waarden van $t$ die bereikt worden.
Om die vraag te beantwoorden maken we een schets van de grafiek over één periode.
De periode is $π$ , de evenwichtswaarde $2$ en de amplitude $4$ . De maximale waarde is $2 + 4 = 6$ en de minimale waarde $2 - 4 = ‐ 2$ . Een waarde van $t$ waarvoor $y (t)$ maximaal is, is $\frac{1}{4} π$ en een waarde van $t$ waarvoor $y (t)$ minimaal is, is $\frac{3}{4} π$ .
De maximale en minimale waarde wordt precies één keer per periode bereikt, dus de maximale waarde krijg je voor $t = \dots, ‐ \frac{3}{4} π, \frac{1}{4} π,1 \frac{1}{4} π,2 \frac{1}{4} π, \dots$ en de minimale voor $t = \dots, ‐ \frac{1}{4} π, \frac{3}{4} π,1 \frac{3}{4} π,2 \frac{3}{4} π, \dots$ .

We houden de hoogte boven de grond van een gondel aan een reuzenrad in de gaten. Hiernaast is de grafiek van de hoogte $h$ (in m) als functie van de tijd $t$ (in minuten) getekend. De bijbehorende formule is: $h (t) = 6 + 5 \sin (\frac{1}{2} π t)$ .

Teken de grafiek ook op de GR.

Bepaal algebraïsch de grootste en de kleinste hoogte die bereikt wordt.

Geef langs algebraïsche weg de eerste drie tijdstippen na $0$ waarop de grootste en de kleinste hoogte bereikt worden.

Op het stopcontact staat een wisselspanning van $V$ volt. De formule hiervoor is: $V = 310 \cdot \sin (100π t)$ . De grafiek van $V$ als functie van $t$ (in sec) is hieronder getekend.

Wat is het aantal periodes per seconde? (Dit noemt men de frequentie.)

Wat is het eerste tijdstip na $0$ waarop de spanning maximaal is?

Hieronder staan drie sinusoïden met formules van de vorm $y = a \cdot \sin (b t) + c$ .

Geef van elk een juiste formule.

We komen terug op het reuzenrad van opgave 14.
Het punt $A$ draait over een cirkel met straal $5$ . Het middelpunt van de cirkel ligt op hoogte $6$ . De hoogte van $A$ na $t$ minuten is $h (t)$ meter.
De grafiek van $h$ al functie van $t$ staat hieronder.

Geef een formule voor $h (t)$ in de vorm:
$h (t) = \dots \cdot \sin (\dots t) + \dots$

In opgave 14 heb je $h (10)$ en $h (35)$ in drie decimalen berekend.

Doe dat nog eens met behulp van de formule die je gevonden hebt en vergelijk je resultaten nu met je eerdere uitkomsten.

De verticale lijn $t = 15$ is symmetrie-as van de grafiek. Verder geldt: $h (10) = 10,330$ .

Gebruik de symmetrie en de periodiciteit om de eerste vier tijdstippen na $0$ te bepalen waarop $h (t) = 10,330$ .

Er geldt: $h (35) = 3,5$ .

Gebruik de symmetrie en de periodiciteit om de eerste vier tijdstippen na $0$ te bepalen waarop $h (t) = 3,5$ .

We gaan verder met opgave 35.
Punt $B$ ligt ook op de omtrek van het rad, zie figuur. Punt $A$ is op tijdstip $0$ op hoogte $6$ rechts en op tijdstip $15$ boven.

Op welke tijdstippen is punt $B$ daar?
Geef de eerste tijdstippen na $0$ .

De hoogte van punt $B$ op tijdstip $t$ noemen we $b (t)$ .

Hoe krijg je de grafiek van $b$ uit die van $h$ ?

Neem over en vul passende getallen in: $b (10) = h (\dots)$ , $b (25) = h (\dots)$ , $b (t) = h (\dots)$ .

Er geldt: $b (t) = h (t - 10)$ .
Een formule voor $b (t)$ is dus: $b (t) = 6 + 5 \cdot \sin (\frac{1}{30} π (t - 10))$ .

Voorbeeld:

We zoeken een formule voor $f (x)$ van de functie $f$ die hieronder getekend is.

De functies $f$ en $g$ hebben dezelfde periode, amplitude en evenwichtswaarde. De periode is $8$ , de amplitude $1$ en de evenwichtswaarde $2$ .
Een formule voor $g (x)$ is: $g (x) = 1 \cdot \sin (\frac{2 π}{8} \cdot x) + 2$ .
De grafiek van $f$ ontstaat uit die van $g$ door deze $1$ eenheid naar rechts te schuiven.
Dus: $f (x) = g (x - 1) = \sin (\frac{2 π}{8} \cdot (x - 1)) + 2$ .

Voorbeeld
We zoeken weer een formule voor $f (x)$ van de functie $f$ die hieronder getekend is.

De functies $f$ en $g$ hebben dezelfde periode, amplitude en evenwichtswaarde. De periode is $π$ , de amplitude $3$ en de evenwichtswaarde $‐ 2$ .
Een formule voor $g (x)$ is: $g (x) = 3 \cdot \sin (2 x) - 2$ . De grafiek van $f$ ontstaat uit die van $g$ door deze $0,25 π$ eenheden naar rechts te schuiven.
Dus: $f (x) = g (x - 0,25 π) = 3 \cdot \sin (2 (x - 0,25 π)) - 2$ .

Opmerking:

Functies met een formule van de vorm $y = A \cdot \sin (\frac{2 π}{p} \cdot x)$ gaan bij $x = 0$ stijgend door de evenwichtslijn. Immers de grafiek van $y = \sin (x)$ is alleen verticaal verschoven en horizontaal en verticaal vermenigvuldigd.

De grafiek van de functie $y = A \cdot \sin (\frac{2 π}{p} \cdot (x - d)) + c$ met
$A > 0$ en $p > 0$ heeft amplitude $A$ , periode $p$ , evenwichtswaarde $c$ en gaat bij $x = d$ stijgend door de evenwichtslijn.
Een functie met een dergelijke formule noemen we een sinusoïde.

Hieronder staan de grafieken van twee functies $f$ en $g$ . Het zijn sinusoïden.

Geef van elke functie de evenwichtswaarde, de amplitude, de periode en een waarde van $x$ waar de grafiek stijgend door de evenwichtslijn gaat.

Geef een formule voor $f (x)$ en $g (x)$ in de vorm:
$\dots \cdot \sin (\dots (x - \dots)) + \dots$ .

De grafieken van de sinusoïden $h$ en $k$ staan hieronder.

Geef een formule voor $h (x)$ en $k (x)$ .

We volgen het eindpunt $E$ van de grote wijzer van een tafelklok. De wijzer heeft lengte $10$ cm; het draaipunt $M$ ligt $15$ cm boven de kast. Op tijdstip $t = 0$ staat $E$ op de 'twaalf'.
$h (t)$ is de hoogte van $E$ boven de kast (in cm) na $t$ minuten.

Geef $h (15)$ , $h (30)$ en $h (45)$ .

De grafiek van $h$ als functie van $t$ is een sinusoïde.

Geef een formule voor $h (t)$ .

Fietsen met een constante snelheid is in de praktijk niet mogelijk omdat de kracht die op de pedalen wordt uitgeoefend, afhangt van de stand van de crank (zie figuur 1). De grootte van de hoek tussen de crank en de verticale richting in radialen noemen we α. Zie figuur 1.
In figuur 2 is de snelheid $v$ van een wielrenner in km/uur uitgezet tegen α.

figuur 2

figuur 1

De grafiek in figuur 1 is te beschrijven met een formule van de vorm $v = p + q \sin (r (α - s))$ .

Bepaal mogelijke waarden van $p$ , $q$ , $r$ en $s$ .