10.5 De raaklijneigenschap >

Hoofdstukken > Conflictlijnen

De constructie van punten van een parabool, ellips en hyperbool gaat bij alledrie volgens hetzelfde principe. Dat principe gaat bij een gegeven gladde kromme $r$ en een punt $F$ (dat niet op $r$ ligt) als volgt.

Kies een punt $V$ op $r$ .

Richt de loodlijn in $V$ op $r$ op (dat is de lijn die loodrecht staat op de raaklijn aan $r$ in $V$ ).
Teken de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .
Het snijpunt van deze twee lijnen ligt op de conflictlijn van $F$ en $r$ .

Bij de parabool is $r$ een rechte lijn (de richtlijn), bij de ellips en hyperbool is $r$ een cirkel (de richtcirkel).
Om deze constructie mogelijk te maken, moet $r$ een "gladde" kromme zijn, dat wil zeggen dat in elk punt de raaklijn bestaat.

Opmerking:

De constructie gaat niet altijd goed. In de situatie hieronder is het punt $P$ met de constructie bepaald. Maar $P$ is geen punt van de conflictlijn van $r$ en $F$ . Waarom niet?

Gegeven is een punt $P$ op een parabool, ellips of hyperbool $c$ .
Een lijn $k$ door $P$ is een steunlijn van $c$ als alle punten van $c$ (op $P$ na) aan één kant van $k$ liggen.
Als er in het punt $P$ maar één steunlijn is, noemen we dat de raaklijn in $P$ aan $c$ .
In dat geval noemen we de lijn die in $P$ loodrecht staat op $r$ de normaal in $P$ op $c$ .

Stelling
Gegeven is een lijn of cirkel $r$ en een punt $F$ . $P$ is een punt op de conflictlijn tussen $r$ en $F$ .
Bij $P$ hoort een voetpunt $V$ op $r$ . De middelloodlijn van $F V$ noemen we $m$ . Dan is $m$ raaklijn aan de conflictlijn en $P$ is het raakpunt.

In paragraaf 7 van hoofdstuk 13 van wiskunde B wordt een bewijs van de stelling gegeven voor een parabool, dus als $r$ een rechte lijn is.
In de andere gevallen gaat het bewijs net zo.
In de volgende opgave doen we het bewijs voor een hyperbool.

De notaties zijn als in de stelling. Neem aan $Q$ is een ander punt dan $P$ op $m$ .
Dan geldt:

$d (Q, r) < d (Q, V)$
$d (Q, r) = d (Q, F)$
$m$ is steunlijn van de conflictlijn.

Leg uit waarom.

Dat er door $P$ geen andere steunlijn van de conflictlijn gaat, is nu nog niet bewezen. Dat bewijs is te lastig om hier te geven.

We gebruiken dezelfde notatie als in de vorige stelling.
Stelling: Dan is $m$ de bissectrice van hoek $V P F$ .

Bewijs deze stelling met congruentie.

We vatten bovenstaande samen in de volgende stelling.

Raaklijnstelling
Gegeven is de parabool, ellips, hyperbool met $F$ als brandpunt en $r$ als richtlijn, richtcirkel.
$P$ is een punt daarop en $V$ is het voetpunt van $P$ op $r$ . Dan is de raaklijn in $P$ middelloodlijn van lijnstuk $V F$ en deze maakt gelijke hoeken met de lijnen $P F$ en $P V$ .

Teken een lijn $r$ en een punt $F$ . $k$ is de lijn door $F$ die evenwijdig is aan $r$ .

Zoek de punten op $k$ die op de parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $r$ liggen.

Hoe groot zijn de hoeken waaronder $k$ de parabool snijdt? (Dat zijn de hoeken die $k$ maakt met de raaklijnen aan de parabool.)

$l$ is de lijn die evenwijdig is aan $r$ zo dat $F$ midden tussen $r$ en $l$ in ligt.

Zoek de snijpunten van $l$ met de parabool.

Hoe groot zijn de hoeken waaronder $l$ de parabool snijdt?

$m$ is een lijn die evenwijdig is aan $r$ en tussen $F$ en $r$ loopt.
De lijn $m$ snijdt de parabool onder hoeken van $30 °$ .

Bewijs dat $d (m, F) = \frac{1}{3} \cdot d (r, F)$ .

Gegeven is een cirkel $r$ met straal $8$ en een punt $F$ daarbinnen op afstand $4$ van het middelpunt $M$ van $r$ .
$k$ is de lijn door $F$ die loodrecht staat op de lange as van de ellips met brandpunt $F$ en richtcirkel $r$ .

Maak een tekening van de situatie en geef in de tekening aan waar ongeveer de snijpunten van $k$ met de ellips liggen.

$V$ is het voetpunt van $S$ . Als $S$ zo'n snijpunt is en $| S F | = x$ , dan $x + \sqrt{16 + x^{2}} = 8$ .

Leg dat uit.

Bereken $x$ .

Bereken hoe groot de hoeken zijn waaronder $k$ de ellips snijdt, in graden nauwkeurig.

Gegeven is een cirkel $r$ met straal 2 en een punt $F$ daarbuiten op afstand 4 van het middelpunt van $r$ . $k$ is de lijn door $F$ die loodrecht staat op de as van de hyperbooltak met brandpunt $F$ en richtcirkel $r$ .

Maak een tekening van de situatie en geef in de tekening aan waar ongeveer de snijpunten van $k$ met de hyperbooltak liggen.

Bereken hoe groot de hoeken zijn waaronder $k$ de hyperbooltak snijdt in graden nauwkeurig.

De middelloodlijnen tussen brandpunt en voetpunt zijn raaklijnen aan de conflictlijn. Op deze eigenschap is de vouwconstructie van na opgave 55 gebaseerd. We gaan de betekenis van deze eigenschap formuleren voor parabool, ellips en hyperbool afzonderlijk.

Raaklijneigenschap parabool
De raaklijn in een punt $P$ van een parabool maakt gelijke hoeken met de lijn die $P$ verbindt met het brandpunt en de lijn door $P$ loodrecht op de richtlijn.

Hoek van inval = hoek van terugkaatsing
Een lichtstraal valt in een punt op een spiegelend oppervlak $s$ . De straal wordt weerkaatst. De teruggekaatste lichtstraal maakt een even grote hoek met $s$ als de invallende: "de hoek van inval is de hoek van terugkaatsing".
Dit is een bekende wet uit de natuurkunde.

De parabolische spiegel
Gegeven is een parabool. Een lichtstraal is evenwijdig aan de as van de parabool en valt op de parabool.

Leg uit dat de teruggekaatste lichtstraal door het brandpunt van de parabool gaat.

Leg uit dat de weg van elk van de getekende lichtstralen tot het brandpunt even lang is.
(De lichtstralen zijn zó getekend dat ze alle op dezelfde afstand tot de richtlijn beginnen.)

Als een evenwijdige lichtbundel (zoals van de zon) evenwijdig is aan de as van een parabolische spiegel, worden alle lichtstralen dus gespiegeld naar het brandpunt. Vandaar ook de naam brandpunt. Volgens dit principe werken ook schotelantennes en radiotelescopen.
Volgens een legende zou Archimedes (287-212 voor Chr.) in de strijd tegen Rome voor zijn vaderstad Syracuse parabolische spiegels hebben ontworpen. Door de spiegels zo te richten dat de zonnestralen werden gebundeld op de vijandelijke Romeinse houten schepen, zouden deze in brand zijn gestoken.

De radiotelescoop te Effelsberg (Duitsland) is met zijn diameter van 100 meter een van 's werelds grootste volledig stuurbare telescopen.

Raaklijneigenschap ellips en hyperbool
De raaklijn in een punt van een ellips of hyperbool maakt gelijke hoeken met de lijnen die dat punt verbinden met beide brandpunten.

De elliptische spiegel
Gegeven is een ellips. In een van de brandpunten bevindt zich een puntvormige lichtbron. De lichtstralen vallen op de ellips en worden teruggekaatst.

Leg uit dat alle teruggekaatste lichtstralen door het andere brandpunt gaan.

Een oude opgave
In zijn beroemde boek Over brandspiegels stelt Anthemius van Tralles het volgende probleem. Ontwerp een situatie waarbij een zonnestraal die door een klein gaatje binnenkomt op elk moment van de dag en op elke dag van het jaar op een gegeven vaste plek terecht zal komen.

Wat is jouw oplossing?

Gegeven is een elliptische spiegel met zijn brandpunten. Vanuit het ene brandpunt vertrekt een lichtstraal zoals is aangegeven.

Teken op het werkblad de eerste drie spiegelingen van het verloop van de lichtstraal.

Wat is de limietbaan van de lichtstraal?

Hoe zit dat als de lichtstraal in een andere richting vertrekt?

Op een ellipsvormig biljart liggen twee ballen: $F$ en $B$ . Bal $F$ ligt in een van de brandpunten.

Hoe moet de biljarter bal $B$ stoten om via de band (de ellips) zonder effect bal $F$ frontaal te raken?

Hoe moet de biljarter bal $B$ (ook nu zonder effect) stoten zodat deze via twee banden frontaal op $F$ komt?

De biljarter probeert bal $B$ rechtstreekts op bal $F$ te spelen. Hij geeft $B$ veel vaart mee, maar hij mikt onnauwkeurig zo dat hij $F$ net mist: bal $B$ gaat achter bal $F$ langs.

Is er hoop dat bal $B$ na een aantal banden toch nog op bal $F$ komt?

Gegeven is een hyperbolische spiegel met zijn brandpunten. Er komt een lichtstraal aan zoals is aangegeven. Als de lichtstraal niet zou worden gespiegeld, zou hij door een van de brandpunten gaan.

Teken op het werkblad de eerste drie spiegelingen van het verloop van de lichtstraal.

Wat is de limietbaan van de lichtstraal?

Hoe zit dat als de lichtstraal vanuit een andere richting komt, maar wel in de richting van het brandpunt gaat?

Van een parabool is gegeven de richtlijn $r$ en het brandpunt $F$ . Een lijn door $F$ snijdt de parabool in de punten $A$ en $B$ .

Teken op het werkblad de raaklijnen in $A$ en $B$ aan de parabool. Licht je werkwijze toe.

Bewijs dat deze raaklijnen loodrecht op elkaar staan.

Bewijs dat het snijpunt van de raaklijnen op de richtlijn van de parabool ligt.

(hint)

Bewijs dat de driehoeken

A F S

A V S

congruent zijn.

Van een ellips zijn de brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ gegeven. Een lijn door $F_{1}$ snijdt de ellips in de punten $A$ en $B$ .

Teken op het werkblad de raaklijnen in $A$ en $B$ aan de ellips. Licht je werkwijze toe.

(hint)

Uit de raaklijneigenschap volgt dat de raaklijn in

A

een bissectrice van de lijnen

A F_{1}

A F_{2}

is.

Bewijs dat de hoek die deze raaklijnen met elkaar maken gelijk is aan $90 ° - \frac{1}{2} \cdot ∠ A F_{2} B$ .

Van een hyperbool zijn de brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ gegeven. Een lijn door $F_{1}$ snijdt de hyperbool in de punten $A$ en $B$ .

Teken op het werkblad de raaklijnen in $A$ en $B$ aan de hyperbool. Licht je werkwijze toe.

Bewijs dat de hoek die deze raaklijnen met elkaar maken gelijk is aan $\frac{1}{2} \cdot ∠ A F_{2} B$ .