13.4 Draaisymmetrie >

Hoofdstukken > Symmetrie

Kleinste draaihoek en orde

Bekijk de speelkaart hartenkoning. Het plaatje is niet spiegelsymmetrisch. Toch heeft het iets regelmatigs.

Breng die regelmaat onder woorden.

Waarom worden speelkaarten zo gemaakt?

Bekijk het logo (beeldmerk) van de Nederlandse Spoorwegen.
Trek de figuur over op doorzichtig papier.

Draai het doorzichtige papier zó om het midden van het logo, dat de figuren weer precies op elkaar liggen.

Over hoeveel graden heb je moeten draaien?

"Het jaar staat op zijn kop" zongen ze in 1961 tijdens het carnaval.
In welk jaar kunnen ze dat weer zingen?

Bekijk de logo's van Mitsubishi en Chrysler.
Je kunt het logo van Mitsubishi draaien om het middelpunt, zodat het weer op zichzelf komt te liggen.

Als je het logo $360^{\circ}$ ronddraait om het middelpunt, bijvoorbeeld rechtsom, hoe vaak ligt het dan op zichzelf, voordat het helemaal rond is?

Hoe groot is de kleinste draaihoek om het precies op zichzelf te laten passen? En hoe groot is de volgende draaihoek?

Geef alle hoeken waarover je het logo van Chrysler kunt draaien (rechtsom) zodat het weer op zichzelf ligt.

Als je het logo van Chrysler helemaal ronddraait om zijn middelpunt, ligt het bij een draaihoek van $360^{\circ}$ voor de vijfde keer op zichzelf. We noemen het logo van Chrysler draaisymmetrisch van orde 5.

Bij draaisymmetrie beperken we ons tot één keer helemaal ronddraaien, dus tot hoeken tussen $0^{\circ}$ en $360^{\circ}$ .

Draaisymmetrie is minstens van orde $2.$ Een figuur die pas weer op zichzelf past, als je hem $360^{\circ}$ draait, is niet draaisymmetrisch.

Oude kathedralen hebben soms prachtige betonnen vensters, zogenaamde roosvensters.

Van welke orde draaisymmetrie is dít roosvenster? Wat is de kleinste draaihoek?

Medailles zijn ook vaak draaisymmetrisch.

Van welke orde draaisymmetrie is deze medaille? Wat is de kleinste draaihoek? (Je moet niet letten op het lintje boven de medaille).

Opmerking:

Met de applet Mini-loco: draaiorde en aantal symmetrieassen kun je nog meer oefenen.

De figuur heeft drie lijnen en twee bolletjes. Neem de figuur vier keer over in je schrift. Vul de figuur aan met bolletjes tot hij orde 2 heeft, tot hij orde 3 heeft, tot hij orde 6 heeft en zodat hij geen draaisymmetrie heeft.

Als een figuur draaisymmetrisch is van orde 10, wat is dan zijn kleinste draaihoek?

En als hij draaisymmetrisch is van orde $n$ ?

Draaihoek en draaipunt

Op de kermis staat een reuzenrad. De bel voor een nieuwe ronde is net gegaan. De mensen kunnen instappen. Dat kan alleen in het onderste schuitje. Zodra het onderste schuitje vol is, draait het rad verder tot het volgende schuitje onder is.

Over hoeveel graden moet het rad dan draaien?

Als er geen mensen meer instappen begint het rad te draaien. Als het eenmaal op gang is gekomen draait het regelmatig. In twee minuten is het één keer rond.

Hoe groot is de hoek dan die het rad in 1 seconde draait?

Maarten zit in een vliegtuigje. Hij is een beetje bang en kijkt strak voor zich uit.
In het bovenaanzicht zie je wat er gebeurt als het vliegtuigje $135^{\circ}$ verder gedraaid is. Het vliegtuigje is schematisch met een pijl weergegeven. De bovenste pijl wijst naar het oosten.

In welke richting wijst de gedraaide pijl? Hoeveel graden is zijn kijkrichting gedraaid?

Teken op het werkblad het beeld van de eerste pijl bij draaiing over $200^{\circ}$ met de klok mee.

Over hoeveel graden is de richting van de pijl gedraaid?

De auto in het plaatje gaat parkeren.

Hoe groot is de hoek waarover de auto van richting moet veranderen om te kunnen parkeren?
Meet die hoek in het bovenaanzicht.

Bij elk van de vijf figuren staat een stip. We gaan elke figuur om die stip draaien.

Teken op het werkblad de positie van elk van de figuren na draaiing over $90^{\circ}$ , $180^{\circ}$ en $270^{\circ}$ .

Teken in je schrift twee punten $A$ en $B$ , op afstand 4 cm van elkaar. Bij een zekere draaiing komt punt $A$ op punt $B$ .

Zoek met de passer het draaipunt als dat 3 cm van $A$ ligt. (Er zijn twee mogelijkheden.)
Meet hoe groot de draaihoek is.

Zoek het draaipunt als dat 2,5 cm van $A$ ligt en meet de draaihoek.

De mogelijke draaipunten liggen op één lijn.
Teken die lijn.

Die lijn heeft wat met het lijnstuk $A B$ te maken.
Hoe noem je de lijn waarop alle mogelijke draaipunten liggen?

Teken in je schrift twee punten $A$ en $B$ , op afstand 4 cm van elkaar. Bij een draaiing komt punt $A$ op punt $B$ terecht. De draaihoek is $80^{\circ}$ . Het draaipunt noemen we $D$ .

Wat voor speciale driehoek is driehoek $A B D$ ?

Hoe groot zijn de hoeken van driehoek $A B D$ ?

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor $D$ ?

Teken beide draaipunten $D$ .

We gaan het lijnstuk $A B$ draaien om punt $D$ over $60^{\circ}$ , met de klok mee.

Het punt $A'$ waar $A$ terecht komt ligt op de cirkel met $D$ als middelpunt, die door $A$ gaat.

Teken die cirkel op het werkblad. Bepaal nu $A'$ , zo dat $∠ A D A' = 60^{\circ}$ .

Teken ook het beeldpunt $B'$ van $B$ .

Teken nu het beeldlijnstuk. Teken ook het beeldlijnstuk als je om $D$ draait over $120^{\circ}$ , met de klok mee.
(Voer de draaiing zo nodig uit door het lijnstuk op doorzichtig papier over te trekken en het papier met je passerpunt in het draaipunt vast te prikken.)

De oker vlieger kan bij verschillende draaiingen terecht komen op elk van de vliegers $A$ , $B$ of $C$ .

De vliegers $A$ , $B$ en $C$ hebben dezelfde stand. De oker vlieger heeft een andere stand.

(Voer de draaiing zo nodig uit door het lijnstuk op doorzichtig papier over te trekken en het papier met je passerpunt in het draaipunt vast te prikken.)

Vergelijk deze standen. Hoe groot is de draaihoek als de oker vlieger op $A$ komt? En op $B$ ? En op $C$ ? (Gebruik je geodriehoek.)

De punten waarom je de oker vlieger moet draaien om $A$ , $B$ en $C$ te krijgen zijn $P$ , $Q$ , $R$ of $S$ .

Zeg van elke draaiing welk draaipunt ( $P$ , $Q$ , $R$ of $S$ ) er bij hoort. Gebruik eventueel overtrekpapier.

Er zijn twee pijlen getekend; pijl 1 wijst naar rechts en pijl 2 naar links. Als je pijl 1 om een zeker punt over een zekere hoek draait, krijg je pijl 2.

Teken op het werkblad het draaipunt.

Hoe groot is de draaihoek?

Er is een vlieger getekend. Er is een draaipunt $D$ aangegeven.

Teken de vlieger als hij om $D$ over een hoek van $90^{\circ}$ met de klok mee gedraaid wordt.

Ook als hij over een hoek van $45^{\circ}$ tegen de klok in gedraaid wordt.

Op het werkblad is een cirkel getekend en een koorde van de cirkel; dat is een lijnstuk waarvan de eindpunten op de cirkel liggen.

Teken het beeld van de koorde bij draaiing over $60^{\circ}$ (met de klok mee) om het middelpunt van de cirkel.

De koorde en zijn beeld maken vier hoeken met elkaar.

Bereken de grootte van elk van die vier hoeken.

16s

19s

Er zijn vier pijlen getekend. Er is een draaiing waarbij pijl 1 precies op de plaats van pijl 2 komt.

Zoek op het werkblad het draaipunt en de draaihoek.

Er is een draaiing waarbij pijl 3 precies op de plaats van pijl 4 komt.

Zoek het draaipunt en de draaihoek.

Waarom is er geen draaiing waarbij pijl 1 precies op de plaats van pijl 3 komt?

17s

20s

Bij een draaiing heeft de oker driehoek als beeld de witte driehoek. We gaan het draaipunt zoeken.

Kleur de hoekpunten van de oker driehoek elk met een verschillende kleur, rood, groen en blauw. Geef de overeenkomstige hoekpunten van de witte driehoek dezelfde kleur.

Let even alleen op de rode hoekpunten.

Teken de lijn waarop het draaipunt moet liggen om van het ene naar het andere rode punt te kunnen draaien.

Dezelfde vraag voor de groene punten.

Je hebt nu het draaipunt $D$ gevonden.

Controleer of het draaipunt goed is (bijvoorbeeld met overtrekpapier).

Congruent

De gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek en parallellogram staan ook op het knipblad.

Snij ze uit. Zorg ervoor dat de openingen waar je ze uit haalt, heel blijven.
Ga voor elke figuur na op hoeveel manieren hij in zijn opening past. Maak daarbij onderscheid tussen "niet ondersteboven" en "wel ondersteboven" . Noteer je antwoorden in een tabel:

figuur	1	2	3
ondersteboven
niet-ondersteboven
symmetrieassen?	ja

Beantwoord ook de vraag of de figuur (één of meer) symmetrieassen heeft.

Als een figuur een symmetrieas heeft, past hij ook ondersteboven in zijn opening. Anders niet.

Een spiegelsymmetrische figuur kun je namelijk om zijn symmetrieas ondersteboven draaien zonder dat hij van plaats verandert.

De vlieger, ruit, en vierkant staan ook op het knipblad.

Snij de figuren weer uit.

Hoe vaak past de figuur in zijn eigen opening? Schrijf je antwoorden in een tabel:

figuur	4	5	6
ondersteboven
niet-ondersteboven
symmetrieassen?	ja

Wat heeft de orde van draaisymmetrie te maken met het aantal malen dat de figuur niet ondersteboven in zijn opening past?

Teken een parallellogram op een kladblaadje en knip het uit. Verdeel het in twee driehoeken door langs een diagonaal te knippen.

De twee driehoeken passen precies op elkaar; we zeggen dat ze congruent zijn.

De figuren A1 en A2 zijn congruent: ze kunnen elkaar precies bedekken. De figuren B1 en B2 kunnen elkaar ook precies bedekken, maar daarvoor moet je eerst één van beide ondersteboven leggen. We noemen B1 en B2 indirect congruent, in tegenstelling tot A1 en A2, die we direct congruent noemen.

Zijn C1 en C2 direct of indirect congruent?

Drie keer twee congruente figuren: twee handen, twee munten en twee vlekken.

Welke zijn direct en welke indirect congruent?

23s

24s

Verdeel de vier figuren in twee congruente helften.

(hint)

Teken de figuren over op vierkantjes- of driehoekjespapier.

Puntsymmetrie

Over het parallellogram is nog iets meer te vertellen. Ook als je het niet langs een diagonaal, maar langs een willekeurige lijn door het middelpunt $M$ in tweeën knipt, zijn de helften direct congruent.

Kies een punt $X$ in de ene helft. Zoek het daarmee corresponderende punt $X'$ in de andere helft. Dan is $M$ altijd het midden van lijnstuk $X X'$ . Je kunt ook zeggen dat $X$ en $X'$ elkaars spiegelbeeld zijn in het punt $M$ .

Teken een gelijkzijdige driehoek $A B C$ en zoek het middelpunt $M$ op.

Teken het spiegelbeeld $A'$ van $A$ in $M$ ; dat wil zeggen, bepaal $A'$ zo dat $M$ het midden is van $A A'$ .

Teken ook de spiegelbeelden $B'$ en $C'$ in $M$ .

Teken vervolgens driehoek $A' B' C'$ . Dit is het spiegelbeeld van driehoek $A B C$ in $M$ .

De totale figuur die bestaat uit de twee driehoeken is puntsymmetrisch. $M$ heet het symmetriepunt.

Teken een lijnstuk $A B$ van 4 cm. Teken op $A B$ een halve cirkel. $M$ is het punt op $A B$ , op 1 cm afstand van $B$ .

Teken het spiegelbeeld van de halve cirkel in $M$ .

De totale figuur die bestaat uit de twee halve cirkels is puntsymmetrisch, met $M$ als symmetriepunt.

Een figuur heet puntsymmetrisch als hij uit twee helften bestaat die elkaars spiegelbeeld zijn in een punt.

Dat punt is het symmetriepunt van de figuur.

Elke puntsymmetrische figuur is draaisymmetrisch.

Wat is het draaipunt?

Van welk orde?

Welke logo's van opgave 5 zijn puntsymmetrisch?

Welke soorten bijzondere vierhoeken zijn puntsymmetrisch?

27s

29s

Is elke draaisymmetrische figuur ook puntsymmetrisch? Geef een voorbeeld.

Een zekere draaisymmetische figuur is ook puntsymmetrisch.

Wat weet je van zijn orde van draaisymmetrie.

Rozetten

Een rozet is een cirkelvormig patroon met draaisymmetrie. Er kunnen ook spiegelassen bij optreden.

De ringen zijn in 36 vakjes verdeeld. Door sommige vakjes oker te kleuren is een rozet gemaakt: een draaisymmetrisch patroon.

Van welke draaiorde is dit patroon?

Kleur op het werkblad de vakjes zó, dat een patroon van orde 9 ontstaat.

Kun je door vakjes te kleuren een patroon van orde 5 krijgen?
En een van orde 6?

30s

31s

De cirkelringen zijn verdeeld in 54 vakjes. Je kunt hierin rozetten tekenen door vakjes in te kleuren.

Van welke orde kunnen die rozetten zijn?
Licht je antwoord toe.

Dezelfde vraag als de cirkelringen verdeeld zijn in 35 vakjes.