14.5 Meer vergelijkingen >

Hoofdstukken > Vergelijkingen

Herhaling klas 1

Bereken (de eerste is al als voorbeeld gedaan, $x$ is een variabele).

$\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$

$\frac{2}{5} + \frac{3}{7}$

$\frac{3}{5} - \frac{2}{3}$

$5 \cdot \frac{13}{5}$

$5 \cdot \frac{x}{5}$

$3 \cdot \frac{2}{3} x$

$\frac{5}{7} x \cdot 7$

Neem over in je schrift en vul in.

$..... \cdot \frac{3}{7} = 3$

$9 \cdot ..... = 4$

$..... \cdot \frac{6}{x} = 6$

$5 \cdot ..... = x$

$\frac{5}{x + 2} \cdot ..... = 5$

Volgens de distributiewetten geldt:

$a (b + c) = a b + a c$

$a (b - c) = a b - a c$

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$3 (4 - 6 x)$

$‐4 (‐2 x + 5)$

$‐ \frac{2}{3} (6 - 15 x)$

$‐4 + 7 x - 6 - 4 x + 2$

$3 (‐4 x - 8) - 10 + 5 (2 x - 3)$

Neem over in je schrift en vul in.

$3 y - 36 ........ = 3 y$

$‐ 5 t ........ - 17 = ‐ 17$

$‐ 3 ........ + 2 x = 0$

Los op en controleer je antwoord.

$3 y + 2 = y - 24$

$2 t - 1 = 7 - t$

$3 (x + 6) = x - 20$

$2 (y - 5) = 3 (y - 6)$

$3 (x + 4) = 4 (x + 3)$

$3 (1 + f) = f - 2$

Systematisch oplossen

We gaan nu vergelijkingen oplossen die ingewikkelder zijn omdat er breuken in voorkomen.

$\frac{2}{3} x + 4$	$=$	$\frac{1}{2} x + 2 \frac{2}{3}$	MIN $\frac{1}{2} x$
$\frac{1}{6} x + 4$	$=$	$2 \frac{2}{3}$	MIN 4
$\frac{1}{6} x$	$=$	$‐1 \frac{1}{3}$	MAAL 6
$x$	$=$	$‐8$

Hierbij is flink wat gerekend met breuken. Het kan allemaal eenvoudiger als je meteen de breuken wegwerkt. Dat doe je door te vermenigvuldigen met de noemers! Als volgt:

$\frac{2}{3} x + 4$	$=$	$\frac{1}{2} x + 2 \frac{2}{3}$	MAAL 3
$2 x + 12$	$=$	$1 \frac{1}{2} x + 8$	MAAL 2
$4 x + 24$	$=$	$3 x + 16$	MIN 24
$4 x$	$=$	$3 x - 8$	MIN $3 x$
$x$	$=$	$‐8$

Opmerking:

Om de noemers weg te werken hebben we vermenigvuldigd met 3 en daarna nog eens met 2. Dat had ook in één keer gekund door te vermenigvuldigen met 6.

We gaan de vergelijking $4 + \frac{1}{3} x = \frac{1}{4} x + 3$ oplossen.

Met welk getal moet je vermenigvuldigen om in één klap de breuken weg te krijgen?

Los de vergelijking op. Controleer ook je antwoord.

Los de volgende vergelijkingen op. Controleer ook je antwoord. Bedenk goed met welk getal je moet vermenigvuldigen om in één klap alle breuken weg te krijgen.

$\frac{1}{2} x + 2 = \frac{1}{5} x - 1$	$\frac{f}{3} = 4 - f$
$‐ \frac{5}{8} x - 2 \frac{2}{3} = \frac{1}{2} x + 6 \frac{1}{3}$	$\frac{t - 6}{t} = 3$
$0,3 y - 1 = 3 - 0,1 y$	$\frac{5}{p + 1} = 4$

Los de volgende vergelijkingen op. Controleer ook je antwoord.

$\frac{5}{x} + 2 = ‐ \frac{5}{2 x} + 5$	$\frac{3 x - 8}{7} = \frac{2}{7} x - 1$
$\frac{‐7}{2 x + 1} = ‐2 \frac{4}{5}$	$\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{5}{x}$

In de volgende vergelijkingen komen haakjes en breuken voor. Je kunt dat soort vergelijkingen oplossen door het volgende schema te volgen.

Voorbeeld

$\frac{1}{3} (x - 4) + 3 x$	$=$	$2 (x + \frac{1}{2}) - 3$	haakjes wegwerken
$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} + 3 x$	$=$	$2 x + 1 - 3$	breuken wegwerken (MAAL 3)
$x - 4 + 9 x$	$=$	$6 x + 3 - 9$	vereenvoudigen
$10 x - 4$	$=$	$6 x - 6$	$x$ -en aan één kant (MIN $6 x$ )
$4 x - 4$	$=$	$‐6$	gewone getallen aan de andere kant (PLUS 4)
$4 x$	$=$	$‐2$	herleiden tot $x = .....$ (DELEN DOOR 4)
$x$	$=$	$‐ \frac{1}{2}$

Controleren:

$\frac{1}{3} (x - 4) + 3 x = \frac{1}{3} (‐ \frac{1}{2} - 4) + 3 \cdot ‐ \frac{1}{2} = ‐3$

$2 (x + \frac{1}{2}) - 3 = 2 (‐ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - 3 = ‐3$

Conclusie: als $x = ‐ \frac{1}{2}$ , dan is het linkerlid gelijk aan het rechterlid.

Los de volgende vergelijkingen op.

$2 (x + \frac{1}{5}) + x = 6 - x$	$2 (x + 4) + 3 (x - 5) = ‐17$
$5 - \frac{1}{3} x = \frac{1}{2} (x + 2)$	$\frac{5}{7} (x - 5) = \frac{2}{3} (2 x + 27) - 81$
$\frac{12 - x}{x} = ‐3$

Janneke wil de vergelijking $\frac{2}{3} (x + 5) = \frac{1}{2} (9 - x) + 7$ oplossen zonder eerst de haakjes weg te werken. Ze vermenigvuldigt beide kanten van de vergelijking met 6. De vergelijking wordt dan volgens haar: $4 (6 x + 30) = 3 (54 - 6 x) + 42$ .

Los die vergelijking op.

Controleer het antwoord in de vergelijking
$\frac{2}{3} (x + 5) = \frac{1}{2} (9 - x) + 7$ .

Zoals je ziet klopt je antwoord niet in de oorspronkelijke vergelijking die Janneke wilde oplossen.

Wat heeft Janneke verkeerd gedaan?