Een bekende stelling uit de meetkunde is de stelling van Thales en zijn omgekeerde.

Stelling van Thales
In een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die rechthoekige driehoek.

Omgekeerde stelling van Thales
Als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek op een zijde ligt, dan is de hoek tegenover die zijde recht.

De omgekeerde stelling van Thales wordt ook wel als volgt geformuleerd.

Vanuit een punt van een cirkel "zie je" een middellijn onder een hoek van $90 °$ .

Thales

Thales van Milete (ca. 624 v.Chr - 545 v.Chr.) was een Griekse filosoof. Hij kwam uit Milete (in het huidige Turkije). De oude Grieken zagen hem als een van de Zeven Wijzen.
Hij schijnt de zonsverduistering van 585 v.Chr. voorspeld te hebben.
Mogelijk heeft hij zijn kennis over sterrenkunde opgedaan tijdens een reis naar Babylon.

We gaan de stelling en zijn omgekeerde meetkundig en algebraïsch bewijzen.

De stelling van Thales en zijn omgekeerde meetkundig

Een ladder glijdt langs een muur naar beneden. We nemen de ladderlengte $2$ . We volgen de baan die het midden $M$ van de ladder volgt.

Bekijk hiervoor de applet: Glijdende ladder .

$A$ en $B$ zijn de uiteinden van de ladder en $C$ de rechte hoek tussen de muur en de grond.
De baan van $M$ lijkt een kwartcirkel.

Als dat zo is, wat is dan het middelpunt en de straal?

$M$ heeft steeds afstand $1$ tot $C$ .
Dat zie je als volgt.
Gegeven een rechthoekige driehoek. Je kunt die driehoek zien als een halve rechthoek.

Hoe volgt hieruit dat het midden van de schuine zijde evenver van de drie hoekpunten van de driehoek afligt?

De afstand van $M$ tot $C$ is dus in elke stand van de ladder $1$ . Het midden van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is dus middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek. Dit is de stelling van Thales.

In deze opgave bewijzen we de omgekeerde stelling van Thales meetkundig. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ is $M$ , een punt op zijde $A B$ .
Je moet laten zien dat hoek $A C B$ recht is. Zie figuur.

Waarom zijn de hoeken met gelijke tekens even groot?

Hoe groot zijn de vier hoeken met tekens erin, samen?

Hoe volgt nu dat hoek $A C B$ recht is?

De stelling van Thales en zijn omgekeerde algebraïsch

In de vorige paragraaf hebben we de stelling van Apollonius bewezen: $a^{2} + b^{2} = 2 m^{2} + 2 d^{2}$ , zie plaatje.

Hiermee kun je de stelling van Thales bewijzen.

Driehoek $A B C$ is rechthoekig in $C$ . Je moet laten zien dat $M$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ is, dus dat $m = d$ .

Hoe volgt dat uit de formule $a^{2} + b^{2} = 2 m^{2} + 2 d^{2}$ ?

Je kunt er ook de omgekeerde stelling van Thales mee bewijzen.
In de driehoek hierboven is $M$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ , dus $m = d$ .

Hoe volgt hieruit dat hoek $A C B$ recht is?

Toepassingen

Driehoek $A B C$ is rechthoekig in $B$ en $A B = 2$ en $B C = 6$ .

Bereken de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ .

Lijnstuk $A B$ is een middellijn van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ .
$A B = 6 \frac{1}{2}$ en $B C = 2 \frac{1}{2}$ , zie de figuur hiernaast.

Bereken $A C$ exact.

$A B C D$ is een vlieger waarvan de hoekpunten op een cirkel met straal $10$ liggen.
Eén van de diagonalen van de vlieger, neem aan $A C$ , is een middellijn van de cirkel. Diagonaal $B D$ heeft lengte $12$ . Het snijpunt van de diagonalen noemen we $S$ .