Een rechthoekige driehoek ligt vast in de volgende gevallen.

Als je twee zijden kent. De derde zijde kun je met de stelling van Pythagoras uitrekenen en de niet-rechte hoeken met sinus, cosinus of tangens.
Als je een zijde en een niet-rechte hoek kent. De andere zijden en hoeken kun je uitrekenen met sinus, cosinus of tangens.

In dit hoofdstuk zullen we onze berekeningen uitbreiden tot scherphoekige en stomphoekige driehoeken.

Onderzoek

Teken met passer en liniaal een driehoek

met zijden van $3$ , $4$ en $6$ cm.
Hoeveel echt verschillende driehoeken kun je tekenen?

met zijden van $3$ en $4$ cm, waarbij de hoek tussen die zijden $70 °$ is.
Hoeveel echt verschillende driehoeken kun je tekenen?

met hoeken van $50 °$ en $60 °$ waarbij de zijde tussen die twee hoeken $5$ cm is.
Hoeveel echt verschillende driehoeken kun je tekenen?

met zijden van $3$ en $5$ cm, waarbij de hoek die grenst aan de zijde van $5$ cm maar niet aan die van $3$ cm $30 °$ is.
Hoeveel echt verschillende driehoeken kun je tekenen?

In drie van de vier gevallen van de voorgaande opgave ligt de driehoek door de gegevens vast.
In het vierde geval heb je twee mogelijkheden. Hoe je de niet gegeven zijden en hoeken kunt bepalen, is onderwerp van deze en de volgende paragraaf.

Herhaling

Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek, zeg α zoals in figuur 1, hebben we als volgt gedefinieerd.

figuur 1

figuur 2

Maak een rechthoekige driehoek waarvan één van de hoeken de scherpe hoek α is. De rechthoekszijde tegenover de hoek α noemen we $a$ . De rechthoekszijde waar α aanligt, noemen we $b$ . De schuine zijde noemen we $c$ , zie figuur 2.

Dan: sin(α) $= \frac{a}{c}$ , cos(α) $= \frac{b}{c}$ en tan(α) $= \frac{a}{b}$ .

Hoe groot je de driehoek maakt, doet er niet toe, vanwege gelijkvormigheid.

Meestal gebruik je sinus en cosinus in de volgende vorm.

$a = c \cdot \sin$ (α) en $b = c \cdot cos$ (α)

De koershoek

In de figuur zijn vier plaatsen op afstand $3$ van $O$ . De koershoeken ten opzichte van het oosten, linksom gedraaid zijn achtereenvolgens $47 °$ , $163 °$ , $260 °$ en $294 °$ .

Hoeveel liggen die plaatsen oostelijk en noordelijk van $O$ ?
Als een plaats westelijk van $O$ ligt, gebruik je een negatief getal.

Je komt in plaats $X$ door vanuit $O$ ten opzichte van het oosten met koershoek α over een afstand $r$ lopen. Hierbij is α scherp.

Hoeveel ligt $X$ oostelijk van $O$ en hoeveel noordelijk?

Het antwoord uit b nemen we over voor alle draaihoeken α.
Dus als je met koershoek $163 °$ vanuit $O$ loopt over afstand $3$ , kom je $3 \cdot sin(163 °)$ noordelijk van $O$ en $3 \cdot cos(163 °)$ oostelijk van $O$ .

Wat is het verband tussen $sin(163 °)$ en $sin(17 °)$ ?
En tussen $cos(163 °)$ en $cos(17 °)$ ?

Geef ook het verband tussen $sin(260 °)$ en $sin(80 °)$
en tussen $cos(260 °)$ en $cos(80 °)$ .

En geef het verband tussen $sin(294 °)$ en $sin(66 °)$
en tussen $cos(294 °)$ en $cos(66 °)$ .

Voorlopig gebruiken we de sinus en cosinus voor hoeken in driehoeken, dus voor hoeken tussen $0$ en $180$ graden.

Als $90 ° <$ α $< 180 °$ , dan,
$\sin (α) = \sin (180 ° - α)$ en $\cos (α) = ‐ \cos (180 ° - α)$

Voor welke hoeken α is cos(α) negatief?
Voor welke hoeken α is sin(α) negatief?

sin(α) = sin( $83 °$ ) en α is stomp. Hoe groot is α?

cos(α) = -cos( $83 °$ ) en α is stomp. Hoe groot is α?

Sinus, cosinus en tangens van een gegeven hoek kun je met je rekenmachine vinden. In speciale gevallen hebben we ze ook exact berekend. De resultaten staan in de tabel.

	$30 °$	$45 °$	$60 °$
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$

Neem de tabel over en vul de exacte waarden in, zonder je GR te gebruiken.

	$90 °$	$120 °$	$135 °$	$150 °$	$180 °$
sin
cos

Controleer enkele antwoorden met de GR.

In deze opgave gebruik je geen GR.

Van een hoek α tussen $0 °$ en $180 °$ is gegeven: sin(α) = $\frac{1}{2}$ .
Hoe groot is α?

Van een hoek β tussen $0 °$ en $180 °$ is gegeven: cos(β) = $\frac{1}{2}$ .
Hoe groot is β?

Van een hoek γ tussen $0 °$ en $180 °$ is gegeven: cos(γ) = - $\frac{1}{2}$ .
Hoe groot is γ?

Van een hoek α tussen $0 °$ en $90 °$ is gegeven: sin(α) = $0,7$ .

Zoek met de GR een hoek α in twee decimalen met
sin(α) = $0,7$ .

De GR geeft een scherpe hoek. Er is ook een stompe hoek α met sin(α) = $0,7$ .

Voor welke stompe hoek α geldt: sin(α) = $0,7$ ?

Voor een hoek α tussen $0 °$ en $180 °$ geldt: cos(α) = $‐0,2$ .

Bepaal α met de GR.
Zijn er meer mogelijkheden?

Afspraak
In driehoek $A B C$ noemen we

de grootte	van hoek $A$	α
	van hoek $B$	β
	van hoek $C$	γ
de lengte	van zijde $A B$	$c$
	van zijde $A C$	$b$
	van zijde $B C$	$a$

Merk op dat:
de zijde met lengte $a$ tegenover hoek $A$ ligt,
de zijde met lengte $b$ tegenover hoek $B$ en
de zijde met lengte $c$ tegenover hoek $C$ .

Verder noemen we
het hoogtelijnstuk uit $A$ : $h_{A}$
het hoogtelijnstuk uit $B$ : $h_{B}$
het hoogtelijnstuk uit $C$ : $h_{C}$ .

De oppervlakte van een driehoek

In driehoek $A B C$ , zie figuur 1, is α $= 30 °$ , $b = 3$ en $c = 4$ .

figuur 1

figuur 2

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

(hint)

Bereken

h_{C}

In driehoek $D E F$ , zie figuur 2, is $∠ D E F = 120 °$ , $D E = 2$ en $E F = 3$ .

Bereken de oppervlakte van driehoek $D E F$ exact.

In beide plaatjes is het hoogtelijnstuk $h_{C}$ uit $C$ getekend.

Druk in beide gevallen $h_{C}$ uit in $b$ en sin(α).

Druk in beide gevallen de oppervlakte van driehoek $A B C$ uit in $b$ , $c$ en $\sin (α)$ .

Geef een soortgelijke formule voor de oppervlakte van driehoek $A B C$ met daarin sin(β), en ook een met sin(γ).

De oppervlakte van driehoek $A B C = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot$ sin(α).

Waarom geldt:
$\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot$ sin(α) = $\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot$ sin(β) = $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot$ sin(γ)?

Vermenigvuldig de oppervlakteregel in het vorige onderdeel met $2$ en deel daarna door $a \cdot b \cdot c$ .
Dan krijg je het volgende:
$\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}$ .
Deze regel staat bekend als de sinusregel.

Wat levert dit op als γ $= 90 °$ ?

De sinusregel

Een regel om de oppervlakte van een driehoek te berekenen
De oppervlakte van driehoek $A B C$ =
$\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot$ sin(α) = $\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot$ sin(β) = $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot$ sin(γ).

Hieruit volgt de sinusregel
$\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}$ .

Bereken in de figuren langs algebraïsche weg de zijde of hoek waar het vraagteken bij staat in één decimaal nauwkeurig.
Vierhoek $K L M N$ is een symmetrische pijlpuntvlieger.

Ga na dat de sinusregel niet bruikbaar is om de hoeken van de driehoek in opgave 29a te berekenen.

Wel kun je er in opgave 29c de onbekende zijden mee uitrekenen. (De onbekende hoek kun je ook zo wel uitrekenen.)

Bereken de onbekende zijden in twee decimalen.

Ga na hoe het met de driehoek in opgave 29b zit.
Op gevallen als in opgave 29d komen we nog terug.

Van driehoek $A B C$ is gegeven: α $= 30 °$ , $a = 4$ en $b = 6$ .

Teken driehoek $A B C$ zo nauwkeurig mogelijk.
Er zijn twee mogelijkheden, één waarbij hoek $B$ stomp is en één waarbij hoek $B$ scherp is.

Wat is het verband tussen de scherpe hoek $B$ in de ene driehoek en de stompe hoek $B$ in de andere?

Bereken sin(β).
Welke mogelijkheden voor β volgen hieruit (in één decimaal)?

Bereken γ en $c$ voor het geval dat hoek $B$ scherp is en ook voor het geval dat hoek $B$ stomp is.

De sinusregel toegepast op een gelijkbenige driehoek met basishoeken α en opstaande zijden $1$ geeft:
$\sin (180 ° - 2 α) = 2 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α)$ .

Leg dat uit.

(hint)

Ga na dat de derde zijde gelijk is aan

2 \cos (α)

De oppervlakteregel toegepast op een gelijkbenige driehoek met basishoeken α en opstaande zijden $1$ geeft:
$sin (180 ° - 2 α) = 2 \cdot \sin α \cdot cos (α)$ .

Leg dat uit.

In de praktijk

Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op $0,000 1 °$ nauwkeurig!). Het opmeten van afstanden is veel moeilijker. (Hij moet bijvoorbeeld omlopen omdat er een heg of een sloot is.) Hij beperkt zich tot het nauwkeurig meten van één afstand. Om de overige afstanden te bepalen, meet hij hoeken. De afstanden berekent hij dan met trigonometrie (= driehoeksmeting; het Griekse woord γονυ(gonu) betekent hoek). Dat heet in de landmeetkunde voorwaartse insnijding. Deze methode werkt alleen in de “lagere geodesie”, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd. Hoe het werkt, zie je in de volgende opgave.

De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
Uit: 175 jaar kadaster GEO-INFO 2007-5

Bij de berekeningen die hierbij uitgevoerd moesten worden, moet je denken aan die in de volgende opgave.

Een landmeter weet dat de afstand tussen $A$ en $B$ $236$ m is. Hij wil de afstand van $C$ tot $D$ weten.

In $A$ , $B$ en $D$ meet hij hoeken.
De resultaten staan in de tekening.

Bereken $C D$ .

De Nederlandse meetkundige Sybrandt Hansz. Cardinael (1578-1647) bedacht een zeer elegante manier om de hoogte van een toren te bepalen. Je hebt er zelfs geen hoeken voor nodig. In het plaatje zie je hoe hij te werk ging.

De hoogte van de toren is $A B$ . Er ligt een spiegel op de grond in $C$ . De verticale stok $D E$ is zó geplaatst dat de top $A$ van de toren in de spiegel gezien kan worden vanuit $E$ . Vervolgens bepaal je de plaats van punt $F$ zo, dat $F$ , $E$ en $A$ op één lijn liggen.
Neem aan: $D E = 6$ , $C D = 8$ en $D F = 9$ .

Bereken de hoogte van de toren.

Het mooie van deze methode is dat je de hoogte van de toren kunt bepalen, zonder dat je er dichtbij hoeft te komen.

Ad wil de hoogte van een boom weten (de afstand $C D$ in de tekening). Hij kan niet bij de boom komen. Hij meet vanuit een punt $A$ de hoek $C A D$ . Vervolgens loopt hij $10$ meter verder van de boom weg en meet in $B$ de hoek $C B D$ .
De resultaten van de metingen staan in de tekening.

Bereken de hoogte van de boom.

(hint)

Bereken eerst $A D$ .

Van driehoek $A B C$ is $A B = 20$ , $B C = 15 \sqrt{3}$ , en $α = 60 °$ .

Toon aan dat $\sin (γ) = \frac{2}{3}$ .

Van welke twee hoeken is de sinus gelijk aan $\frac{2}{3}$ ?

Bereken $γ$ .

Bereken de lengte van $A C$ .

Met een theodoliet kun je hoeken tot op $0,0001 °$ nauwkeurig meten.

In een straat moet een landmeter $200$ meter verderop een punt op $3$ meter hoogte bepalen. De theodoliet staat op hoogte $1,5$ meter.

Welke hoek α hoort bij deze hoogte (zie plaatje)?

Als de theodoliet $0,0001 °$ teveel aangeeft, hoeveel te laag komt het punt dan?

De oppervlakte van een parallellogram

Bereken de oppervlakte van het parallellogram hiernaast in twee decimalen.

Geef een formule voor de oppervlakte van een parallellogram met zijden $a$ en $b$ en een hoek α.

Maakt het iets uit of α een scherpe of een stompe hoek van het parallellogram is?

De oppervlakte van een parallellogram
De oppervlakte van een parallellogram met zijden $a$ en $b$ en een hoek α is: $a \cdot b \cdot \sin (α)$ .

De getekende sterren in het plaatje zijn opgebouwd uit congruente ruiten met zijde $1$ .

Bereken van elke ster de oppervlakte. Geef een exact antwoord en een benadering in twee decimalen.

In het plaatje staan twee vierkanten en twee driehoeken. Eén hoekpunt hebben ze gemeenschappelijk.

Laat zien dat de twee driehoeken dezelfde oppervlakte hebben.