1

Hiernaast zie je twee concentrische (= met hetzelfde middelpunt) cirkels. De koorde van de grote cirkel raakt de kleine cirkel en heeft lengte $20$ .

Bereken de oppervlakte van het gekleurde gebied (tussen de twee cirkels).

2

In het plaatje hiernaast staan vier vierkanten met zijde $2$ en dertien cirkels, met vier verschillende stralen.

Bereken die stralen exact.

3

De gedeputeerdenpoort in Nijmegen bestaat uit een vierkant met zijde $2$ met daarop een halve cirkel, zie figuur.

Bereken de straal van de ‘omgeschreven cirkel’ van de poort exact.

4

In een vierkant is een kwartcirkel getekend. Een rechthoek van $8$ bij $1$ ligt langs twee zijden van het vierkant en heeft precies één punt met de cirkel gemeenschappelijk.

Bereken de zijde van het vierkant.

5

$C D$ is een zwaartelijn in driehoek $A B C$ .
Dan geldt: $a^{2} + b^{2} = 2 m^{2} + 2 z^{2}$ .
Dit is de stelling van Apollonius. We hebben deze stelling al bewezen.

Bewijs deze stelling met de cosinusregel.

6

In deze opgave bewijs je de cosinusregel in een stomphoekige driehoek.
Driehoek $A B C$ heeft een stompe hoek in $B$ .
Op de zijden van de driehoek $A B C$ zijn vierkanten geplaatst. De hoogtelijn uit hoekpunt $B$ verdeelt het vierkant met zijde $b$ in twee stukken. De vierkanten met zijde $a$ en $c$ worden tot rechthoeken aangevuld, zie figuur.
Het plaatje staat ook drie keer op het werkblad.

Er zijn twee rechthoeken in het plaatje met oppervlakte
$‐ a \cdot c \cdot cos$ (β).

a

Leg dat uit.
Kleur ze rood in het eerste plaatje op het werkblad.

Er zijn ook twee rechthoeken met oppervlakte $b \cdot c \cdot cos$ (α).

b

Kleur ze in het tweede plaatje geel.

En er zijn twee rechthoeken met oppervlakte $a \cdot b \cdot cos$ (γ).

c

Kleur ze in het derde plaatje groen.

d

Leg uit dat: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos$ (β).

7

Voor alle hoeken α tussen $0$ en $180$ graden geldt:
${sin}^{2} (α) + {cos}^{2} (α) = 1$ .

a

Laat zien dat de formule klopt voor α in de figuur hiernaast.

b

Laat zien dat de formule ook voor stompe hoeken α geldt.

Op deze formule komen we in de hoofdstukken goniometrie nog terug.

8

In deze opgave bewijs je de cosinusregel algebraïsch. Je hebt daarbij de formule van de vorige opgave nodig. In de plaatjes hieronder is $D$ de projectie van $C$ op lijn $A B$ .

a

Ga na dat in beide plaatjes geldt: $A D = c - a \cdot cos (β)$ .

b

Uit de stelling van Pythagoras volgt:
$b^{2} = {(c - a \cdot cos (β))}^{2} + a^{2} {sin}^{2} (β)$ . Ga dat na.

c

Toon aan dat uit b met behulp van de vorige opgave volgt: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos$ (β).

9

Aan een groot meer liggen de plaatsen $A$ , $B$ en $C$ . De afstand van $A$ tot $B$ hemelsbreed is $23,3$ km. In $A$ kun je hoek α meten en in $B$ hoek β: α = $124 °$ en β = $33 °$ .

Bereken hoe ver $A$ hemelsbreed van $C$ af ligt.

10

Kapitein Rob verlaat met zijn schip de haven van Adam en vaart $10$ mijlen in noordelijke richting. Dan wordt de koers gewijzigd in richting Noord-Noord-West (dat is $22 \frac{1}{2} °$ ten opzichte van het noorden). In deze richting vaart het schip $8$ mijl. Daarna gaat het in richting Noord-West verder. Na $6$ mijl varen zoekt kapitein Rob de haven van Adam door zijn verrekijker.

In welke richting moet hij kijken? (Met andere woorden bereken de hoek tussen de richting waarin Adam ligt en de zuidelijke richting.)
Hoe ver is hij nu hemelsbreed van Adam verwijderd?

11

In een vierkant is een rechthoek getekend. De hoekpunten van de rechthoek liggen op de zijden van het vierkant. De oppervlakte van het gekleurde deel is $8$ .

Bereken de lengte van de diagonaal van de rechthoek.

12

De oppervlakte van een regelmatige achthoek is $32 \sqrt{2}$ .
De hoekpunten van de achthoek liggen op een cirkel.

a

Bereken de exacte straal van die cirkel.

b

Bereken ook de zijde van de achthoek in één decimaal nauwkeurig.

13

In deze opgave wordt nagegaan hoe een visje getekend kan worden dat in een rechthoek past met een breedte van $10$ cm en een hoogte van $4$ cm, zie de tekening rechts. Om het visje te kunnen tekenen, is het nodig te weten hoe groot de straal is van de bijbehorende cirkelbogen. Ook moet de positie van de middelpunten van de cirkelbogen ten opzichte van de rechthoek bekend zijn. Hieronder zijn de rechthoek en een deel van de onderste cirkel op schaal getekend.

Er geldt het volgende:

$M$ is het middelpunt van een van de cirkelbogen
$A B = C D = 10$ cm
$A D = B C = 4$ cm
$E$ is het midden van $A D$
$G$ is het midden $F H$
$D H = E G = A F = p$ cm
De straal van de cirkelboog is $r$ cm

Met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek $M G E$ kan een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot (i) $r = \frac{1}{4} p^{2} + 1$ .

a

Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot
$r = \frac{1}{4} p^{2} + 1$ .

Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek $M B F$ een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot (ii) $p^{2} - 20 p + 116 - 8 r = 0$ .

De in vergelijking (i) gegeven uitdrukking voor $r$ kan in vergelijking (ii) worden gesubstitueerd. Hierdoor ontstaat een vergelijking die kan worden omgewerkt tot (iii) $p^{2} + 20 p - 108 = 0$ .

b

Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen vergelijking om tot $p^{2} + 20 p - 108 = 0$ .

In een rechthoek van $10$ cm bij $4$ cm kan nu een visje worden getekend als de waarden van $p$ en $r$ bekend zijn.
Deze kunnen worden berekend met behulp van de vergelijkingen (i) en (iii).

c

Bereken de waarden van $p$ en $r$ en teken het visje in de rechthoek.
Geef duidelijk uitleg over je werkwijze.

14

figuur 1

figuur 2

Hiernaast zie je een basketbalstellage die neergelaten kan worden, zie figuur 1.

Een basket is een ijzeren ring met een netje. Twee kettingen, die even lang zijn, dienen als beveiliging tegen vallen of te ver zakken van het geheel. Het zijaanzicht van het frame is een parallellogram. We noemen dit parallellogram $A B C D$ , zie figuur 2.

$B C$ is $90$ cm en $A B$ is $100$ cm lang.
In de gymzaal waar de foto genomen is, is de hoogte van bevestigingspunt $B$ gelijk aan $280$ cm. De hoek bij punt $B$ (hoek $A B C$ ) noemen we $β$ .
De lengte van lijnstuk $A C$ wordt gegeven door:
$A C = 10 \sqrt{181 - 180 \cdot cos (β)}$ .

a

Toon de juistheid van de formule voor $A C$ aan.

Een van de kettingen is bevestigd tussen de punten $C$ en $A$ . De ketting heeft een lengte van $160$ cm. De basket wordt zoveel mogelijk omlaag gelaten zodat de ketting tussen $A$ en $C$ strak gespannen is.

b

Bereken de hoogte van punt $A$ boven de vloer in dat geval. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.

15

Een burgervliegtuig mag niet via de kortste route van vliegveld Luxemburg naar Schiphol vliegen omdat er een verboden militaire zone tussen ligt. In het plaatje is deze zone licht oker gemaakt. Zie figuur 1.
In deze opgave bekijken we een model van deze situatie. In dit model houden we alleen rekening met horizontale afstanden en nemen we aan dat vliegtuigen in rechte lijnen vliegen.
De afstand van vliegveld Luxemburg ( $L$ ) naar vliegveld Schiphol ( $S$ ) is hemelsbreed $315$ km met een koers van $342 °$ . Hierin is de koers de hoek ten opzichte van het noorden met de wijzers van de klok mee. Zie figuur 2.

figuur 1

figuur 2

Stel dat een vliegtuig vanaf vliegveld Luxemburg eerst richting het westen vliegt en vervolgens richting het noorden vliegt om precies op Schiphol uit te komen. Hierdoor wordt de vliegafstand langer dan $315$ km.

a

Bereken hoeveel langer deze vliegafstand is. Geef je antwoord in tientallen kilometers nauwkeurig.

figuur 3

In werkelijkheid vliegt men vanaf vliegveld Luxemburg eerst $300$ kilometer met een koers van $310 °$ om vervolgens rechtstreeks naar Schiphol te vliegen, zie figuur 3.
Als men rechtstreeks van vliegveld Luxemburg naar vliegveld Schiphol zou mogen vliegen, zou de afstand met een bepaald percentage verkort kunnen worden.

b

Bereken dit percentage in hele procenten nauwkeurig.

16

In deze opgave bereken je de valentiehoek in het ${CH}_{4}$ -molecuul.
Het molecuulmodel van methaan ${CH}_{4}$ ziet er als volgt uit. In vier hoekpunten van een kubus zit een H-atoom en in het centrum van de kubus een C-atoom. De H-C-H-hoek heet in de scheikunde de valentiehoek. We gaan die hoek berekenen. Neem de ribbe van de kubus $2$ .

Waarom maakt het niet uit welke H's je kiest?
Bereken de zijden van een H-C-H-driehoek en vervolgens de valentiehoek in graden nauwkeurig.

17

Hiernaast staat een regelmatig viervlak. $M$ is het midden van een ribbe. $A$ en $B$ zijn hoekpunten van het viervlak.

Bereken hoek $A M B$ in graden nauwkeurig. (Dit is de hoek tussen twee grensvlakken van het viervlak.)

18

Het blok hiernaast is $3$ hoog, $5$ breed en $4$ diep.

Bereken de oppervlakte van de driehoek die in het blok getekend is in één decimaal.

19

De wanden waartegen de twee leuningen van de trap bevestigd zijn, staan loodrecht op elkaar. De helling van beide leuningen is $\frac{1}{2}$ .

Bereken de knik in de leuning in graden nauwkeurig.

(hint)

Je kunt de situatie vertalen naar kubus

A B C D . E F G H

:

M

is het midden van

D H

, het eerste stuk van de leuning is

A M

... .

20

De piramide hiernaast heeft een vierkant grondvlak met zijde $1$ . $T$ ligt recht boven $D$ ; $T D = \sqrt{2}$ .

a

Bereken de lengtes van de andere ribben van de piramide.

Een mier loopt van $A$ via een punt van ribbe $T B$ naar $C$ . $P$ is het punt op ribbe $T B$ zó, dat weg $A ‐ P ‐ C$ zo kort mogelijk is.

b

Ga met een berekening na dat $T P = 1 \frac{1}{2}$ .

c

Bereken hoek $A P C$ in graden nauwkeurig.

21

Hiernaast is een afgeknotte balk $A B C D . E F G H$ getekend. De afmetingen staan in de figuur.

Bereken hoek $E H G$ in graden nauwkeurig.