In dit hoofdstuk is het tellen van aantallen mogelijkheden aan de orde geweest. Combinatoriek wordt dat genoemd. We vatten de vier basis telmethoden nog eens samen. Bij veel telproblemen moet je verschillende telmethoden combineren om tot een oplossing te komen.

Aan een wedstrijd doen vier deelnemers mee (zeg: A, B, C en D). De deelnemers kunnen in verschillende volgorden de finish passeren. Eén mogelijke einduitslag is BCAD. Zo’n rijtje-van-vier waarbij de volgorde van belang is, noem je een permutatie (ook wel geordende greep zonder herhaling genoemd). Het aantal mogelijke einduitslagen (permutaties) kun je op verschillende manieren vinden.

• Door de mogelijkheden systematisch uit te schrijven.

• Door een boomdiagram te tekenen.

Vier deelnemers (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ manieren in volgorde zetten.
Voor het product $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ bestaat een afkorting: $4!$.
Dit spreek je uit als $4$ faculteit.
Er geldt: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$.

$4!$ kun je ook met de optie $x!$ op je rekenmachine berekenen.

We bekijken ook nog een wedstrijd waar 7 deelnemers aan meedoen (zeg: A, B, C, D, E, F en G). Het aantal mogelijke erepodia (zoals BCA, ACB, FAD en FGE) is:
$7\cdot 6\cdot 5=\frac{7!}{4!}=210$.
Anders gezegd: Het aantal permutaties van 3 uit 7 (of geordende grepen van 3 uit 7 zonder herhaling) is $7\cdot 6\cdot 5$.
Het aantal permutaties van $3$ uit $7$ kun je berekenen met de optie $nPr$ op je rekenmachine.

Een meerkeuzetoets bestaat uit $5$ vragen. Bij iedere vraag staan drie antwoorden, waarvan er één moet worden aangekruist. Er is altijd maar één antwoord goed. We vragen ons af op hoeveel manieren je de toets kunt maken.

Dit telprobleem kun je oplossen door een wegendiagram te tekenen.

Het aantal mogelijkheden (of geordende grepen met herhaling) is $3^5=243$.

We bekijken drie telproblemen:

• alle rijtjes van lengte $7$ met $3$ enen en $4$ nullen;

• alle kortste routes van $(\mathrm{0,0})$ naar $(\mathrm{4,3})$;

• alle selecties (of combinaties) van $3$ dingen uit $7$ verschillende dingen. (Bij een combinatie letten we niet op de volgorde.)

Hiernaast zie je van elk van de drie telproblemen een mogelijke uitkomst.

Er zijn evenveel rijtjes als routes als selecties. Immers, je kunt bij alle drie de telproblemen een rijtje maken, bijvoorbeeld:

• $0100011$

• RBRRRBB

• - B - - - F G

Deze rijtjes komen op hetzelfde neer.
Het aantal routes van $(\mathrm{0,0})$ naar $(\mathrm{4,3})$ noteren we met het combinatiegetal $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$.
Dus $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)=$ ...

... het aantal $0$-$1$-rijtjes van lengte $7$ met $3$ enen,
... het aantal routes van lengte $7$ met $3$ stappen naar boven,
... het aantal combinaties van $3$  elementen uit $7$.

Sla het laatste stuk van Eindpunt over als je de paragraaf Herhalingscombinaties niet hebt gemaakt.

Joe, Jack, William en Averell hebben tijdens een overval zeven goudstaven buit gemaakt. We vragen ons af - net als Lucky Luke - op hoeveel manieren de Daltons de goudstaven onderling kunnen verdelen.
Bij dit telprobleem is alleen het aantal goudstaven per Dalton van belang (en dus niet de volgorde). Omdat elke Dalton meerdere goudstaven kan bezitten is er sprake van herhaling. Elke mogelijke verdeling kunnen we weergeven als route in nevenstaand rooster. De gekleurde route hoort bij de verdeling: Joe drie goudstaven, Jack en William twee, en Averell nul. Het aantal mogelijkheden (het aantal herhalingscombinaties) is $\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=120$.

Verzamelingen en hun 'samenhang' geven we vaak aan in een Venn-diagram.
We geven een voorbeeld.
Bekijk de verzameling $U$ van alle getallen van $10$ tot en met $29$.
$S$ is de deelverzameling bestaande uit de elementen van $U$ waarvan de som der cijfers hoogstens $4$ is en $V$ is de deelverzameling bestaande uit de elementen van $U$ waarvan het verschil der cijfers hoogstens $1$ is.

Hiernaast zie je een Venn-diagram van de ligging van $S$ en $V$ in $U$.
We gebruiken de volgende
Notaties
$\#S$: het aantal elementen in $S$;
$S\cap V$: de elementen die zowel in $S$ als in $V$ zitten;
$S\cup V$: de elementen die in $S$ en/of $V$ zitten.

In ons voorbeeld: $S$ bestaat uit de elementen $10$, $11$, $12$, $13$, $20$ en
$V$ bestaat uit de elementen $10$, $11$, $12$, $21$, $22$, $23$.
In het Venn-diagram zie je $\#S\cap V=5$ en $\#S\cup V=8$.

We doen het volgende kansexperiment.
Laat Anne een willekeurig getal uit $U$ (de uitkomstenverzameling) opschrijven.
De kans dat ze een getal uit $S$ opschrijft, noteren we met $P(S)$. Die kans is $\frac{7}{20}$.

Rekenregels
Gegeven een kansexperiment met uitkomstenverzameling $U$. Neem aan dat elke uitkomst evenveel kans heeft.
$A$ en $B$ zijn twee gebeurtenissen (deelverzamelingen van $U$).
Dan:
$P(A)=\frac{\#A}{\#U}$;
$P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)$.
Als $A\cap B$ leeg is, dan $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. We zeggen dan dat $A$ en $B$ elkaar uitsluiten.

Voorwaardelijke kansen
We gaan verder met het voorbeeld hierboven.
Anne verklapt dat de som van de cijfers in het getal dat ze heeft opgeschreven hoogstens $4$ is.
De kans dat het getal dan in $V$ zit, noemen we een voorwaardelijke kans: de kans op een uitkomst in $V$ onder de voorwaarde dat die uit $S$ komt.
Die kans is $\frac{\#S\cap V}{\#S}=\frac{5}{7}$.

Neem aan $A$ en $B$ zijn twee gebeurtenissen. De kans op een uitkomst uit $A$ onder voorwaarde $B$ noteren we met $P(A|B)$. Er geldt:
$P(A|B)$ $=\frac{\#A\cap B}{\#B}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
We noemen twee gebeurtenissen $A$ en $B$ onafhankelijk als $P(A|B)$ $=P(A)$.
Er geldt: $A$ en $B$ onafhankelijk $\iff$ $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

In ons voorbeeld geldt: $P(V|S)$ $=\frac{5}{7}$ en $P(V)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$, dus $S$ en $V$ zijn afhankelijk.

We geven nog een voorbeeld.
In de klassen 4A en 4B zitten $30$ leerlingen. In 4A zitten $10$ meisjes en in 4B $20$.
In 4A rookt $10$% van de jongens en $10$% van de meisjes en in 4B $20$% van de jongens en $10$% van de meisjes.
De leraar wijst willekeurig een leerling aan. Bekijk de volgende gebeurtenissen.
$J$: hij wijst een jongen aan; $M$: hij wijst een meisje aan;
$R$: hij wijst iemand aan die rookt; $N$: hij wijst iemand aan die niet rookt.
Ga na dat in 4A:
$P(J)=\frac{2}{3}$, $P(R)=\frac{1}{10}$ en $P(J\cap R)=\frac{1}{15}$, dus $J$ en $R$ zijn onafhankelijk want $P(J\cap R)=P(J)\cdot P(R)$.
En dat in 4B:
$P(J)=\frac{1}{3}$, $P(R)=\frac{2}{15}$ en $P(J\cap R)=\frac{1}{15}$, dus $J$ en $R$ zijn afhankelijk want $P(J\cap R)\ne P(J)\cdot P(R)$.