In de plattegrond van Square City wordt bij elk kruispunt vermeld hoeveel routes er zonder omwegen naar dat kruispunt leiden, gerekend vanaf het stadhuis. Bij drie kruispunten is het aantal routes al ingevuld.

Vul zelf de aantallen in bij de andere twaalf kruispunten.

Opmerking:

Om de aantallen routes in een rooster te tellen, is het handig om bij elk ‘tussenpunt’ het aantal routes naar dat punt te schrijven. Dat zie je in de volgende opgave.

Bekijk het vierkant hiernaast. Uit het aantal routes naar het punt links-boven ( $6$ ) en het punt rechts-onder ( $4$ ) kun je door optellen het aantal routes naar het punt rechts-boven ( $10$ ) vinden.

Leg uit waarom dit zo kan.

Bepaal in onderstaande situaties het aantal routes van S naar F door bij elk tussenpunt het aantal routes te schrijven en de optelmethode toe te passen (werkblad).

In Square City is een fraaie tuin aangelegd die niet door voetgangers mag worden betreden.

Hoeveel kortste routes zijn er van A naar B?

Blaise Pascal (1623 - 1662)

De getallen in het stratenplan van opgave 82 geven aan hoeveel kortste routes er mogelijk zijn vanaf het stadhuis. Dat systeem kan verder uitgebreid worden. Zodoende ontstaat een getallenpatroon dat de driehoek van Pascal genoemd wordt. Het patroon wordt wel op twee manieren weergegeven:

Bekijk hieronder de driehoek van Pascal. We hebben de regels genummerd. De driehoek begint met regel 0; de onderste regel is regel 8.

Hoe ziet regel 9 er uit?

Pascal was overigens niet de eerste wiskundige die de tabel ontdekte en gebruikte. In een Chinees wiskundeboek, van de schrijvers Ssu Yuan Yu en Chuh Shih Chieh, uit het jaar 1303, is de tabel al te vinden. En dat de tabel nog veel ouder is, blijkt uit het feit dat hij in het Chinese boek ‘de antieke tabel’ wordt genoemd.

Hoe schrijf je het getal 9 in het Chinees?

De getallen in de driehoek van Pascal kun je ook op de GR vinden.
Het getal op de $6$ -de plaats in de $10$ -de rij wordt op een (grafische) rekenmachine genoteerd met: $10$ nCr $6$ .
In de wiskunde gebruiken we de notatie: $(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})$ , spreek uit: tien boven zes.
Je moet de plaatsen en de rijen bij $0$ beginnen te tellen.
Getallen $(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ noemen we combinatiegetallen.

Zoek uit hoe je $(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})$ met je GR uitrekent en controleer met de GR ook de andere getallen in je antwoord op opgave 86.

In de driehoek van Pascal staat op regel 0 het getal $1$ .
De getallen op regel 1 zijn opgeteld $2$ .
De getallen op regel 2 zijn opgeteld $4$ .

Vul deze lijst aan tot en met regel 6.

Welke uitkomst krijg je als je de getallen op regel 10 optelt?

We doen vanuit de bovenste punt zes stappen. De zesde regel bestaat uit zeven plekken. De aantallen routes om op die plekken te komen zijn:
$1$ , $6$ , $15$ , $20$ , $15$ , $6$ , $1$ .
Deze aantallen zijn opgeteld $2^{6}$ .

Leg uit waarom de getallen op de zesde regel opgeteld $2^{6}$ zijn.

Dwars door Square City loopt een kanaal. Langs het kanaal is een mooie boulevard aangelegd met gezellige restaurants en barretjes.
Een inwoonster van Square city wil vanuit punt A zo snel mogelijk naar de boulevard.

Uit hoeveel routes kan zij kiezen?

ABRACADABRA
ABRACADABRA is een oude bezweringsformule. Het zou de mensen tegen ziekten en kwade invloeden beschermen. Het woord stond vaak op amuletten en talismans vermeld.

Een talisman met dit opschrift gaf veel macht, want je kunt het woord ABRACADABRA op heel veel manieren lezen. Eén van die manieren is met cirkeltjes aangegeven in de figuur.

Op hoeveel manieren kun je op deze talisman het woord ABRACADABRA lezen?

Jaap loopt van de lichtgrijze auto A naar de donkergrijze auto B. Neem aan dat je om alle auto's heen kunt lopen.

Op hoeveel manieren kan Jaap dat?

Bij een wedstrijd werden in totaal zes doelpunten gemaakt.

Welke eindstanden kunnen voorkomen?

Geef bij elke eindstand aan hoeveel verschillende scoreverlopen daar bij passen.

Het totale aantal mogelijke scoreverlopen is $64$ .

Had je dit aantal van tevoren kunnen uitrekenen?

Bij een route in een rooster heb je steeds twee mogelijkheden: naar boven òf naar rechts. Net zo heb je bij een scoreverloop steeds twee mogelijkheden: een doelpunt voor de thuisclub t of voor de gasten g. Het scoreverloop in opgave 92 kan worden voorgesteld door een rijtje letters, bijvoorbeeld: tgttgt. Je kunt alle mogelijke scoreverlopen bij de einduitslag $2 - 4$ vinden door alle rijtjes van twee letters t en vier letters g op te schrijven. Wanneer je dat systematisch doet (en je beschikt over voldoende tijd), dan zul je de $15$ mogelijkheden wel vinden. De driehoek van Pascal geeft dit antwoord veel sneller!
De driehoek van Pascal gebruik je in situaties waarin de mogelijkheden vertaald kunnen worden naar rijtjes met twee symbolen (bijvoorbeeld t en g); zo’n rijtje moet bestaan uit een vast aantal t’s en een vast aantal g’s.
Elk rijtje is dan weer te geven als een route in een rooster.

Voorbeeld:

Uit een groep van acht mensen moeten er drie gekozen worden. Hoeveel verschillende drietallen zijn er mogelijk?
Voor het gemak nummeren we de personen van 1 tot en met 8. Als een persoon wel gekozen wordt, zetten we een ‘1’ onder zijn nummer, anders een ‘0’. Als het drietal 2, 3 en 7 gekozen wordt, krijg je het onderstaand rijtje:

persoon	1	2	3	4	5	6	7	8
gekozen	0	1	1	0	0	0	1	0

Bij ieder drietal hoort zo’n rijtje met vijf keer een ‘0’ en drie keer een ‘1’.
Het aantal mogelijkheden is $(\begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}) = 56$ .

Voorbeeld
Hoeveel gezinssamenstellingen zijn er bij een gezin van vier jongens en twee meisjes?
We nummeren de kinderen naar leeftijd van 1 tot en met 6, waarbij 1 de oudste is en 6 de jongste. Een mogelijke gezinssamenstelling is dan:

kind	1	2	3	4	5	6
geslacht	J	J	M	J	J	J

Het aantal mogelijkheden is $(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}) = 15$ .

Hoeveel rijtjes van vijf J’s en vijf M’s zijn er?

En van vijf nullen en drie enen?

Meer keuze
Een test bestaat uit zes opdrachten. Een kandidaat moet er hieruit drie kiezen en deze maken.

Hoeveel keuzemogelijkheden heeft zo’n kandidaat?

De toestand van twaalf bomen aan de zuidkant van de Parklaan wordt onderzocht. Zieke exemplaren worden gemerkt met een kruis. Er blijken vijf bomen ziek te zijn.

Op hoeveel volgordes kunnen die vijf bomen over de Parklaan verspreid staan?

Hoeveel volgordes zijn er als je weet dat de eerste drie bomen gezond zijn?

(hint)

Dus GGG?????????

Klassenfeest
Vier leerlingen zullen een klassenfeest organiseren: twee jongens en twee meisjes. Ze worden gekozen uit $23$ leerlingen van de klas, $11$ jongens en $12$ meisjes.

Hoeveel tweetallen kun je uit de elf jongens kiezen? En hoeveel tweetallen uit de meisjes?

Hoeveel viertallen kunnen gekozen worden?

Profielkeuze
Om haar profiel aan te vullen moet Saadet nog drie vakken kiezen uit de vakken: ee, ak, ckv2, gs, du, bi, wb.

Op hoeveel manieren kan zij haar profiel aanvullen?

Bereken het aantal manieren waarop zij haar profiel aan kan vullen als zij geen enkel exact vak (ee, bi, wb) kiest.

Bereken het aantal manieren waarop zij haar profiel aan kan vullen als zij één exact vak kiest.

Op hoeveel manieren kan zij dit doen als zij hoogstens één van de exacte vakken wil kiezen?

Opmerking:

$(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ is:

het aantal 0-1 -rijtjes van lengte $n$ met $k$ nullen,
het aantal kortste routes van lengte $n$ met $k$ stappen naar rechts,
het aantal grepen van $k$ dingen uit een verzameling van $n$ dingen.

Met een "greep" bedoelen we een ongeordende greep: de volgorde waarin je de dingen pakt, is niet van belang.
Het combinatiegetal $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ staat in de driehoek van Pascal op de plaats " $3$ naar rechts, $4$ naar boven" vanaf het startpunt $S$ .

Bepaal in een rooster zoals hiernaast hoe groot $(\begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array})$ is.

Geef in een rooster de plaats aan van $(\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ .

Hoe groot zijn deze drie combinatiegetallen?

Hiernaast zie je een deel van een rooster met drie punten. Het punt rechtsboven hoort bij $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ .

Welke combinatiegetallen horen bij de andere twee?

Er geldt: $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix}) = 84$ en $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix}) = 126$ .

Hoe volgt hieruit hoe groot $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ is?

Vul de juiste getallen in: $(\begin{matrix} 80 \\ 33 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 79 \\ \dots \end{array}) + (\begin{matrix} 79 \\ \dots \end{matrix})$ .

Een zaalkorfbalteam bestaat uit vier dames en vier heren. De coach wijst voor de wedstrijd uit de twaalf beschikbare spelers (zes dames en zes heren) een team aan.

Hoeveel keuzes heeft hij?

Korfbal wordt gespeeld in twee vakken: een verdedigingsvak en een aanvalsvak. In ieder vak staan van een team twee dames en twee heren. (Waar in het vak de spelers staan, doet er niet toe.)

Op hoeveel manieren kan de coach uit de al aangewezen vier dames en vier heren een beginopstelling vormen?

Bereken zonder rekenmachine $(\begin{matrix} 80 \\ 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 97 \\ 1 \end{matrix})$ en geef een formule voor $(\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array})$ .

Bereken zonder rekenmachine $(\begin{matrix} 80 \\ 0 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 97 \\ 0 \end{matrix})$ en geef een formule voor $(\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array})$ .

Op een cirkel liggen $21$ punten. Door deze twee aan twee te verbinden, ontstaat onderstaande figuur.

Hoeveel verbindingslijntjes zijn er getekend?

Welk combinatiegetal $(\begin{matrix} \dots \\ \dots \end{matrix})$ is dat?

Bereken zonder rekenmachine $(\begin{matrix} 80 \\ 2 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 200 \\ 2 \end{matrix})$

Geef een formule voor $(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})$ .

Opmerking:

Sommige combinatiegetallen zijn dus eenvoudig te berekenen. Maar de meeste vind je niet zo gemakkelijk.
Er zijn verschillende mogelijkheden om bijvoorbeeld te vinden.

In een rooster kun je dat getal stap voor stap opbouwen.
Uit de driehoek van Pascal (hiernaast) kun je het getal aflezen.
Op sommige rekenmachines zit er een speciale knop voor: nCr.

Verderop leren we hoe je het getal met behulp van de faculteit-knop (!) kunt berekenen.

In de driehoek van Pascal kun je zien dat $(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})$ .

Hoe kun je dat uitleggen met behulp van routes?

Hoe kun je dat uitleggen met behulp van 0-1-rijtjes?

Hoe kun je dat uitleggen met behulp van grepen?

Lotto
Als je meedoet in de lotto, mag je tegen betaling, zes nummers kiezen uit de getallen 1 tot en met 45. Komen die zes nummers op zaterdagavond toevallig uit de lottomachine gerold, dan win je een miljoen. Per lottoformulier kun je $10$ keer je geluk beproeven.

Hoeveel complete formulieren moet je invullen om zeker te zijn van de hoofdprijs?

Hoe groot is de kans op "alle zes goed", als je maar één formulier invult?

Play-offs
De basketbalcompetitie telt tien clubs. De vier clubs die het hoogst eindigen, spelen de zogenaamde play-offs om het kampioenschap van Nederland. Ze bepalen in een onderlinge competitie wie 1, 2, 3 en 4 wordt. Die volgorde noemen we de "uitslag" van de competitie.

Hoeveel viertallen uit de tien clubs zijn er in principe mogelijk?

Een van die viertallen wordt gevormd door: Weert, Den Bosch, Den Helder en Groningen.

Hoeveel uitslagen zijn er voor deze vier mogelijk?

Hoe vind je uit a en b het aantal uitslagen dat mogelijk is voor de basketbalcompetitie?

Hoe kun je het aantal uitslagen voor de tien clubs ook rechtstreeks uitrekenen?

In opgave 106d heb je aantal rangschikkingen van vier uit tien berekend. Dat is het aantal manieren waarop je vier dingen uit tien op een rij kunt zetten. Bij een rangschikking is de volgorde van belang, bij een greep niet.
In plaats van rangschikking wordt ook wel de term permutatie gebruikt.

Je hebt nu op twee manieren berekend hoeveel rangschikkingen er zijn van $4$ uit $10$ :
$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4!$ en $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ .
Dus: $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!}$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ is nog wel met een rekenmachine te berekenen.
Vervelender is al $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$ .
Er geldt: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6!} = \frac{10!}{6!}$ .

Leg dat uit en bereken $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$ door twee faculteitsgetallen op elkaar te delen.

Het aantal rangschikkingen van drie dingen uit een verzameling van tien is: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .
Dit aantal kun je ook berekenen door twee faculteitsgetallen op elkaar te delen.

Doe dat.

Bereken het aantal rangschikkingen van $6$ dingen uit een verzameling van $18$ door twee faculteitsgetallen op elkaar te delen.

Vul de juiste uitdrukking in $n$ en $k$ in.

Het aantal rangschikkingen van $k$ dingen uit een verzameling van $n$ is: $\frac{n!}{\dots!}$ .

Op veel rekenmachines en de GR kun je het aantal rangschikkingen berekenen met de optie $n$ P $k$ .

Zoek uit hoe dat op jouw machine gaat en bereken hiermee het aantal rangschikkingen van $5$ uit $15$ .

Het aantal rangschikkingen van vijf dingen uit een verzameling van elf is $11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = \frac{11!}{6!}$ .
Algemeen: het aantal rangschikkingen (permutaties) van $k$ dingen uit een verzameling van $n$ is $\frac{n!}{(n - k)!}$ .
Op veel rekenmachines en de GR vind je dit aantal met de optie $n$ P $k$ .

In opgave 106 heb je gezien: het aantal raangschikkingen van $4$ uit $10$ vind je door het aantal combinaties van $4$ uit $10$ met $4$ ! te vermenigvuldigen, dus $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{10!}{6! \cdot 4!}$ . Algemeen geldt het volgende.

$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$

Aan een internationaal jeugdvoetbaltoernooi nemen $10$ clubs deel, waarvan $2$ uit Nederland.

Hoveel finales zijn er mogelijk?

Wat is de kans dat de twee Nederlandse clubs de finale spelen?

Er wordt ook nog om de derde plaats gespeeld.

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de bezetting van de plaatsen 1, 2 en 3?

Een voetbalcoach beschikt over een selectie van $18$ spelers.

Op hoeveel manieren kan hij hieruit elf spelers kiezen?

Er zijn $2$ keepers, $6$ verdedigers, $5$ middenvelders en $5$ aanvallers. De coach besluit 4-2-4 te spelen, dat wil zeggen met $4$ verdedigers, $2$ middenvelders en $4$ aanvallers (en $1$ keeper).

Uit hoeveel elftallen kan hij kiezen? (Alle spelers kunnen zowel links als rechts uit de voeten.)

Tijdens een griepepidemie melden zich $7$ spelers ziek, zodat hij nog precies één elftal overhoudt.

Wat is de kans dat hij daarmee 4-2-4 kan spelen?

Toepen
Bij het kaartspel toepen worden alleen de kaarten B, V, H, A, 7, 8, 9, 10 gebruikt van elk van de kleuren schoppen, harten, ruiten en klaveren. Elke speler krijgt vier willekeurige kaarten uit de $32$ kaarten. De vier kaarten die een speler krijgt noemt men een hand. De 10-en zijn de hoogste kaarten; het is dus gunstig als je veel 10-en hebt.

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor een hand?

Hoeveel “gunstige” grepen zijn er, dat wil zeggen bij hoeveel grepen zijn er twee 10-en en twee niet-10-en?

Wat is de kans op (precies) twee 10-en?

In een doos zitten $30$ ballen: $20$ witte en $10$ zwarte. Pak er acht ballen uit (zonder terugleggen).

Hoeveel grepen van acht ballen zijn er uit een doos met $30$ ballen? Geef je antwoord met een combinatiegetal.

Bij hoeveel grepen heb je vijf witte ballen en drie zwarte gepakt? Schrijf je antwoord als product van twee combinatiegetallen.

Wat is de kans dat je vijf witte en drie zwarte ballen pakt? Schrijf de kans met behulp van combinatiegetallen en bereken hem.

Bridge
Bij bridge krijgt elk van de spelers dertien kaarten uit een volledig kaartspel van $52$ kaarten.

Hoeveel 'handen' zijn er voor een speler mogelijk?

Bij hoeveel handen zijn de dertien kaarten vijf schoppen, vier harten, twee ruiten en twee klaveren?

Wat is dus de kans op vijf schoppen, vier harten, twee ruiten en twee klaveren?

Als nieuw lid van een boekenclub mag je gratis drie boeken kiezen uit een lijst van tien. De eerste vier zijn dure boeken met prachtige platen in kleur, de andere zes zijn romans.
Je kiest willekeurig drie boeken uit de tien, dat wil zeggen dat alle drietallen boeken even waarschijnlijk zijn.

Bereken de kans dat je één platenboek kiest en twee romans.

Bereken ook de kans op

drie platenboeken
twee platenboeken en één roman
drie romans

Hoe kun je je antwoorden op a en b controleren?

Veel opgaven in deze paragraaf komen hierop neer:
je hebt een populatie waarbij de leden een eigenschap wel of niet hebben; hieruit worden er een aantal gepakt; $X$ is het aantal dat gepakt wordt dat de eigenschap wel heeft.
Dit is hetzelfde als trekken zonder terugleggen van een aantal ballen uit een doos met witte en blauwe ballen.
Dat het zonder terugleggen is, herken je zo: de kans dat de tweede bal wit is, hangt af van de kleur van de eerste bal.

Voorbeeld:

In een doos zitten tien ballen, vier witte en zes zwarte.
Iemand trekt zonder terugleggen vijf ballen uit die doos.
Dan is de kans op twee witte ballen: $\frac{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})}$ .

Uit een klas van tien jongens en twaalf meisjes wordt een afvaardiging van zes leerlingen gekozen.

Hoe groot is de kans dat er evenveel meisjes als jongens gekozen worden? Schrijf je antwoord met behulp van combinatiegetallen en benader de uitkomst in drie decimalen.

Na de wedstrijd van Ajax tegen Feyenoord is het weer eens mis. Vijfentwintig supporters, tien van Ajax en vijftien van Feyenoord gaan met elkaar op de vuist. De politie grijpt in, zonder ergens op te letten. Elke supporter heeft daardoor dezelfde kans om opgepakt te worden. In totaal worden er acht supporters gearresteerd.

Hoe groot is de kans dat er drie aanhangers van Ajax en vijf van Feyenoord naar het bureau moeten? Schrijf ook nu je antwoord eerst met combinatiegetallen en bereken daarna de kans, afgerond op drie decimalen.