8.5 Rekenen met veranderingen >

Hoofdstukken > Veranderingen en verbanden 1

Gemiddelde toename

Hieronder zijn twee temperatuurverlopen in beeld gebracht: $T_{1}$ en $T_{2}$ .

Welk van de twee varieert het meest, $T_{1}$ of $T_{2}$ ?

De temperatuur $T_{2}$ stijgt tussen $5$ en $10$ uur vrijwel gelijkmatig.

Met hoeveel graden Celsius per uur?

De temperatuur $T_{2}$ daalt tussen $14$ en $24$ uur vrijwel gelijkmatig. De stijging per uur is nu negatief.

Hoeveel graden Celsius bedraagt de stijging per uur?

$T_{2}$ stijgt tussen $8$ en $12$ uur niet gelijkmatig. Op het eind van die periode is de stijging veel minder dan in het begin.

Hoeveel graden Celsius bedraagt dan de gemiddelde stijging van $T_{2}$ per uur?

Over de periode van $0$ tot $16$ uur bekeken, daalde $T_{2}$ aanvankelijk, om vervolgens flink te stijgen en dan weer te dalen. In totaal is de temperatuur toegenomen.

Met hoeveel graden Celsius gemiddeld per uur?

$T_{1}$ en $T_{2}$ zijn de temperaturen van de lucht en van de grond op een zelfde dag in mei.

Leg uit: wat is de luchttemperatuur, $T_{1}$ of $T_{2}$ ?

Hieronder staat de grafiek van de goudprijs tussen 9 augustus 2010 en 8 augustus 2011. Met name in de laatste dagen is de goudprijs snel gestegen; dat kwam door de onrust op de financiële markten. Voorbeeld: op 14 februari 2011 bedroeg de goudprijs $1365$ dollar per ounce.

De goudprijs wordt elke werkdag aangepast (op zaterdag en zondag ligt de handel stil).
De grafiek verloopt erg schokkerig.

Hoeveel “schokjes” zijn er ongeveer in de grafiek?

Stel je had voor $100$ dollar goud gekocht op 9 augustus 2010 en je verkoopt het weer op 8 augustus 2011.

Hoeveel winst zou je dan hebben gemaakt?

Hoeveel steeg de goudprijs in deze periode gemiddeld per maand?

En per dag?

Elk jaar brengt de VN het Wereld Bevolkingsrapport uit.
Hieronder is de prognose van de VN van de wereldbevolking in grafiek gebracht. De wereld is daarin verdeeld in zes delen.

Chris zegt: "Afrika groeit in de periode $2000 - 2025$ het hardst, want de lijn van Afrika loopt daar het steilst."

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk met de grafiek voor de regio's Afrika en overige Aziatische landen met hoeveel de bevolking toeneemt in deze periode.
Heeft Chris gelijk?

In het jaar 1990 woonden ongeveer $20 %$ van de wereldbevolking in China.

Hoe zal dat in 2150 zijn?

De wereld werd in 2000 bewoond door $6,7$ miljard mensen en zal in 2150 door $11,6$ miljard mensen worden bewoond.

Met hoeveel mensen neemt de wereldbevolking gemiddeld per jaar toe in die periode? Met hoeveel mensen is dat per dag? En met hoeveel per seconde?

We kijken nog even terug naar opgave 59. De wereldbevolking in miljarden noemen we $B$ , de tijd in jaren noemen we $t$ .
We lezen het volgende af:
Als $t = 2000$ , dan $B = 6,7$ ; als $t = 2150$ , dan $B = 11,7$ .
De toename van $t$ is $150$ ; de toename van $B$ is $4,9$ .
Dit is de gemiddelde toename per jaar $\frac{4,9}{150} \approx 0,033$ (miljard).

Het voorgaande kun je schematisch zó opschrijven met het zogenaamde rekenschema:

$t = 2150$	$\to$	$B = 11,6$
$\underline{t = 2000}$	$\to$	$\underline{B = 6,7}$
$Δ t = 150$	$\to$	$Δ B = 4,9$

De gemiddelde toename is: $\frac{Δ B}{Δ t} = \frac{4,9}{150} \approx 0,033$ .

Terug naar opgave 58.
$P$ is de goudprijs (in dollar/ounce).
We rekenen de tijd $t$ in dagen vanaf 9 augustus 2010.

Vul het rekenschema in en bereken daarmee de gemiddelde prijsstijging per dag over de periode 090810 - 080811.

$t = ......$	$\to$	$P = ......$
$\underline{t = ......}$	$\to$	$\underline{P = ......}$
$Δ t = ......$	$\to$	$Δ P = ......$

De gemiddelde toename is: $\frac{Δ P}{Δ t} = ...... \approx ......$ .

Terug naar opgave 57.
$T_{2}$ is de luchttemperatuur in graden Celsius, $t$ is de tijd in uren.

Maak een rekenschema en bereken daarmee de gemiddelde temperatuurstijging $\frac{Δ T}{Δ t}$ per uur tussen $8$ en $20$ uur.

Een auto rijdt over een drukke snelweg. Af en toe is het zo druk dat de auto stapvoets moet rijden; op andere stukken kan hij wel aardig opschieten. Om $12.00$ uur passeert de auto kilometerbordje 45, om $15.00$ uur bordje 168. De afgelegde afstand in km noemen we $A$ , de tijd in uren noemen we $t$ .

Maak een rekenschema en bereken daarmee de $\frac{Δ A}{Δ t}$ tussen $12.00$ en $15.00$ uur.

Wat stelt $\frac{Δ A}{Δ t}$ voor?

Van een grafiek (met $x$ op de horizontale as en $y$ op de verticale as) staat hieronder een toenamediagram.

Wat is de gemiddelde toename van $y$ op het $x$ -interval
$3 \leq x \leq 11$ ?

Bereken $\frac{Δ y}{Δ x}$ op het $x$ -interval $0 \leq x \leq 16$ .

Zoek een $x$ -interval waarop $\frac{Δ y}{Δ x}$ gelijk aan $0$ is.

Anneke heeft van een zekere grafiek $\frac{Δ y}{Δ x}$ berekend voor een paar $x$ -intervallen: er kwam steeds dezelfde gemiddelde toename uit, namelijk $1 \frac{1}{2}$ .

Wat kun je van de grafiek vertellen, als je weet dat voor ieder interval $\frac{Δ y}{Δ x}$ de waarde $1 \frac{1}{2}$ heeft?

Opmerking:

Het woord interval komt uit het Latijn en betekent letterlijk tussenruimte.
Voor intervallen wordt vaak de volgende notatie gebruikt.
Het interval $[3,5]$ is de verzameling getallen tussen $3$ en $5$ , inclusief $3$ en $5$ zelf. De vierkante haken geven aan dat de getallen $3$ en $5$ zelf ook mee doen. Bij eenhoekige haken doen de randen niet mee. Bijvoorbeeld:
Interval $[3,5]$ betekent alle waarden van $x$ waarvoor $3 \leq x \leq 5$ .
Interval $〈 3,5 〉$ betekent alle waarden van $x$ waarvoor $3 < x < 5$ .

Hiernaast staat de grafiek van $y = x^{2}$ .
Als $x$ toeneemt van $1$ tot $3$ , dan neemt $y$ toe van $1$ tot $9$ .
De gemiddelde groei van $y$ is op het $x$ -interval $[1,3]$ dus gelijk aan $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$ .

Bereken (met het rekenschema) de gemiddelde groei van $y$ op de volgende $x$ -intervallen: $[3,6]$ , $[0,10]$ , $[‐ 2,2]$ en $[‐ 3,2]$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y$ op het $x$ -interval $[a,3]$ .
Je krijgt een formule met $a$ erin. Vereenvoudig deze zover mogelijk.

Er is een getal $a$ (kleiner dan $3$ ) zo, dat de gemiddelde groei van $y$ op het $x$ -interval $[a,3]$ gelijk is aan $2$ .

Bereken dat getal $a$ met het resultaat van onderdeel b.

Hoe had je deze waarde van $a$ in de grafiek kunnen vinden?

Zoek met de grafiek op het werkblad de waarde van $b$ zodat op het interval $[‐ 1, b]$ de gemiddelde groei gelijk is aan $1,5$ .

Je kunt ook een formule maken (met $b$ erin) voor $\frac{Δ y}{Δ x}$ op het interval $[‐ 1, b]$ .

Bepaal deze formule en bereken hiermee de waarde van $b$ .

Van een functie wordt de gemiddelde groei op het $x$ -interval $[a, b]$ berekend door het differentiequotiënt $\frac{Δ y}{Δ x}$ op dat interval uit te rekenen.
(Differentiequotiënt betekent letterlijk "uitkomst van deling van verschillen".)
Ofwel: de gemiddelde groei is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van het verbindingslijnstuk tussen de twee punten op de grafiek bij $x = a$ en $x = b$ .

Opmerking:

Het differentiequotiënt (en dus de gemiddelde groei) kun je op een overzichtelijke manier berekenen via het eerder gebruikte rekenschema.

We bekijken nogmaals de functie $y = x^{2}$ .

Wat is de toename $Δ y$ op het $x$ -interval $[a, b]$ ?

Wat is de toename $Δ x$ op het $x$ -interval $[a, b]$ ?

De gemiddelde toename op het $x$ -interval $[a, b]$ is dus
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{b^{2} - a^{2}}{b - a}$ . Deze uitdrukking kun je vereenvoudigen.

Wat is die vereenvoudiging?

(hint)

Ontbind de teller in twee factoren: $b^{2} - a^{2} = (... + ...) (... - ...)$

Voor $y = x^{2}$ hebben wij het mooie resultaat dat de gemiddelde groei op het $x$ -interval $[a, b]$ gelijk is aan $a + b$ .
Bij andere functies zit er niets anders op dan de waarde van het differentiequotiënt $\frac{Δ y}{Δ x}$ uit te rekenen.

Bereken de gemiddelde groei van $y = x^{2} + 5$ op de volgende $x$ -intervallen: $[1,3]$ , $[a,3]$ en $[a, 2 a]$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y = 3 x^{2}$ op dezelfde drie $x$ -intervallen.

Bereken de gemiddelde groei van $y = {(x - 1)}^{2}$ op dezelfde drie $x$ -intervallen.

In deze opgave bekijken wij de functie $y = x^{2} + x$ .

Bereken het differentiequotiënt van de functie $y = x^{2} + x$ op het $x$ -interval $[1,3]$ . Vereenvoudig je antwoord zoveel mogelijk:
Doe hetzelfde voor het $x$ -interval $[2,5]$ .

Laat met een berekening zien dat het differentiequotiënt van de functie $y = x^{2} + x$ op het $x$ -interval $[a,3]$ gelijk is aan $a + 4$ .

(hint)

Bereken de breuk

\frac{Δ y}{Δ x}

en ontbind de teller in factoren.

Laat met een berekening zien dat op het $x$ -interval $[a, a + 1]$ geldt $\frac{Δ y}{Δ x} = 2 a + 2$ .

Helling en raaklijn

Bekijk de volgende grafiek.

Lees zo goed mogelijk af wat de gemiddelde helling $\frac{Δ y}{Δ x}$ is op het $x$ -interval $[1,3]$ .

Doe dit ook op de $x$ -intervallen $[1,2]$ en $[1; 1,5]$ .

We willen graag de helling weten op een klein interval, d.w.z. met $Δ x$ heel klein. Maar voor kleine waarden van $Δ x$ is nauwkeurig aflezen niet meer goed mogelijk. Als je echter een formule van de grafiek kent, dan kun je de gemiddelde helling wel nauwkeurig berekenen.

De formule die bij de grafiek hoort is $y = 8 x^{2} - x^{3}$ .
Zo is de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[1; 1,2]$ als volgt te berekenen (met het rekenschema):

$x = 1$	$\to$	$y = 7$
$\underline{x = 1,2}$	$\to$	$\underline{y = 9,792}$
$Δ x = 0,2$	$\to$	$Δ y = 2,792$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2,792}{0,2} = 13,96$

Bereken op dezelfde manier met behulp van de formule de gemiddelde helling $\frac{Δ y}{Δ x}$ in elk van de volgende $x$ -intervallen:

$[1; 1,1]$ ,
$[1; 1,01]$ ,
$[1; 1,001]$ .

De laatste drie waarden zijn afgerond op een geheel getal hetzelfde.

Wat is die afgeronde waarde?

Opmerking:

Door $Δ x$ steeds kleiner te nemen, bekijken we de grafiek steeds gedetailleerder in het punt $(1,7)$ : we zoomen in op de grafiek.
Zie de applet "helling_zoomen" . Welke richtingscoëfficiënt vind je met de applet?

Dat kan ook op de GR.

Teken op de GR de grafiek van $Y_{1} = 8 X^{2} - X^{3}$ . Ga met de cursor naar het punt $(1,7)$ . Zoom vervolgens in. Je kunt dit vaker herhalen. De grafiek op het scherm van de GR gaat bij dit inzoomen steeds meer op een rechte lijn lijken. De richtingscoëfficiënt van die lijn is het getal $13$ dat je in opgave 68d hebt berekend. We noemen dat getal de helling van de grafiek in het punt $(1,7)$ . Dit getal geeft aan hoe steil de grafiek in het punt $(1,7)$ loopt.

Op de GR zit ook een optie waarmee je de helling van de grafiek in een bepaald punt kunt berekenen. Vaak heet zo’n optie dy/dx of je moet 'derivative' aanzetten. Check eens of je hem kunt vinden. Vraag anders of je docent je wil helpen.

Bekijk nog eens de grafiek van $y = 8 x^{2} - x^{3}$ .

Bepaal met een klein interval, met $Δ x = 0,01$ , de helling van de grafiek van in het punt $(2,24)$ . Doe dat ook in het punt $(4,64)$ en in het punt $(6,72)$ .

Bepaal ook de helling van de grafiek in de bij a genoemde punten met behulp van de optie dy/dx op de GR.

We gaan de helling van de grafiek van $y = x^{2}$ bepalen in het punt $(2,4)$ .

Ga na dat de gemiddelde stijging $\frac{Δ y}{Δ x}$ als $x$ toeneemt van $2$ tot $2,01$ ongeveer $4$ is.

Hieronder zie je de grafiek van $y = x^{2}$ en daarnaast een uitvergroot gedeelte in de buurt van $x = 2$ .

De uitvergrote grafiek is praktisch een rechte lijn met richtingscoëfficiënt $4$ ; die helling had je al in a gevonden.
Ook in de niet-uitvergrote grafiek is de lijn door het punt $(2,4)$ getekend met richtingscoëfficiënt $4$ . Deze lijn geeft goed aan hoe steil de grafiek loopt in het punt $(2,4)$ . We noemen hem de raaklijn aan de grafiek in $(2,4)$ .

Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen in de punten $(0,0)$ , $(1,1)$ en $(3,9)$ op vier verschillende manieren:

door berekening van de gemiddelde stijging $\frac{Δ y}{Δ x}$ als $x$ toeneemt met $0,01$ .
door de optie dy/dx op de GR te gebruiken.
door een raaklijn te tekenen op het werkblad.
met de applet "helling_parabool" .

Vind je bij vraag b steeds ongeveer dezelfde getallen?

De helling in een punt van een kromme grafiek kun je vinden door zo goed mogelijk een raaklijn te tekenen in dat punt en de richtingscoëfficiënt van die raaklijn nauwkeurig te bepalen.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepaal je door de coördinaten van twee punten op de lijn af te lezen die ver genoeg uit elkaar liggen. Met deze twee punten bereken je dan de waarde van $\frac{Δ y}{Δ x}$ .

Op de grafiek hieronder is het punt $P$ aangegeven. Er zijn zes lijnen getekend door $P$ , genummerd 1 t/m 6.
De grafiek staat ook op het werkblad.

Welk van de lijnen is de raaklijn?

Wat is de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn? Wat is dus de helling van de grafiek in punt $P$ ?

Hieronder is nogmaals de grafiek getekend. De figuur staat ook op het werkblad.

Bepaal in de figuur op het werkblad de punten op de grafiek met respectievelijk de helling $0$ , $1 \frac{1}{2}$ en $‐ 1$ . Licht je werkwijze toe.

Bekijk de volgende grafiek. We kennen geen formule van deze grafiek. We kunnen de hellingen dus niet berekenen. Maar we kunnen de hellingen wel aflezen uit de grafiek.

Teken op het werkblad zo goed mogelijk de raaklijnen in de punten met $x$ -waarden $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ en $5$ . Lees daarmee zo nauwkeurig mogelijk af wat de hellingen zijn in deze punten. Noteer deze vervolgens in een tabel zoals hieronder:

Opmerking:

Je kunt direct zien wat de helling is bij $x = 2$ en bij $x = 4$ . Dat komt omdat de grafiek daar een maximum heeft of een minimum, want daar is de helling altijd gelijk aan nul. Tenminste als de grafiek 'glad' is, d.w.z. dat hij geen knikken heeft.

Een grafiek die niet overal glad is, is de grafiek van $y = \sqrt{x^{2}}$ .

Teken deze grafiek op je GR. Neem $‐ 5 \leq x \leq 5$ en $‐ 5 \leq y \leq 5$ .

Leg uit dat deze grafiek een minimum heeft. In welk punt?

De helling in dat punt is echter niet gelijk aan nul.

Leg zo goed mogelijk uit wat er volgens jou hier aan de hand is. Is er eigenlijk wel een helling in dat minimum?

Een andere grafiek waarmee iets bijzonders aan de hand is, is de grafiek van $y = x^{3}$ .

Teken de grafiek op je GR voor $‐ 2 \leq x \leq 2$ en $‐ 10 \leq y \leq 10$ .

Bereken heel nauwkeurig de helling van de grafiek in het punt $(0,0)$ . Hoe groot is deze helling volgens jou?

Leg uit dat de helling van deze grafiek in het punt $(0,0)$ gelijk is aan nul, maar dat de grafiek in dit punt geen maximum of minimum heeft.

Hieronder staat de grafiek van een kostenfunctie. Hierbij is de variabele $x$ het dagelijks aantal geproduceerde eenheden in honderden stuks. Verticaal staan de kosten in euro’s. De grafiek staat ook op het werkblad.

De helling van de grafiek geeft aan hoe snel de kosten stijgen.

Teken in de grafiek op het werkblad de raaklijnen bij $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ en $x = 4$ .

Lees zo nauwkeurig mogelijk af wat de helling is bij $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ en $x = 4$ . Kies daarvoor telkens twee punten op de raaklijn niet te dicht bij elkaar.

Als er $300$ eenheden geproduceerd worden, zijn de kosten $220$ euro. De helling van de grafiek bij $x = 3$ heb je bij b bepaald. Deze helling is (ongeveer) $120$ .

Leg uit dat de kosten bij een productie van $310$ eenheden dan ongeveer $232$ euro zijn.

Als er $200$ eenheden geproduceerd worden, dan zijn de kosten $116$ euro.

Benader hiermee, en met de helling die je bij b hebt gevonden, de kosten als er $225$ eenheden geproduceerd worden.

Als er $400$ eenheden geproduceerd worden, dan zijn de kosten $380$ euro.

Benader hiermee, en met de helling die je bij b hebt gevonden, de kosten als er $385$ eenheden geproduceerd worden.