Hoofdstukken > Veranderingen en verbanden 1

Ongelijkheden

De beschermende kleding bij American football vormt een belemmering voor de warmteafgifte van het lichaam. Het lichaam kan daardoor zijn warmte maar moeilijk kwijt en dat kan tot problemen leiden. We spreken dan van warmtestuwing. In ernstige gevallen kan dat dodelijk zijn.
Belangrijk zijn de temperatuur en de relatieve vochtigheid van de lucht. In de grafiek is aangegeven bij welke omstandigheden zich negen ernstige gevallen van warmtestuwing voordeden. Het betreft spelers van American football en mariniers onder zware lichamelijke belasting.

Hoe waren de weersomstandigheden bij ongeval nr.1?

De ongevallen gaven aanleiding tot het opstellen van een “weergids”. Zone 1 is veilig: bij die weersomstandigheden is er geen gevaar voor warmtestuwing. In zone 2 moet men oppassen. Zone 3 is gevaarlijk.

Het is $26 ° C$ en de relatieve vochtigheid is $60 %$ .

Is er gevaar voor warmtestuwing?

Noem de vochtigheidsgraad $V$ (in procenten) en de temperatuur $T$ (in graden Celsius).

Stel een formule op voor de twee grenslijnen tussen de zones.

Bepaal met de formules bij welke relatieve vochtigheid je in zone 2 zit, als de temperatuur $26 ° C$ is (dus $T = 26$ ).
Dezelfde vraag bij $T = 18$ .

Voor zone 1 kunnen we een ongelijkheid opschrijven in de vorm: $V < a T + b$ .

Welke zijn de getallen $a$ en $b$ ?

Geef zo ook een ongelijkheid voor zone 3.
En met welke twee ongelijkheden kun je aangeven dat je in zone 2 zit?

Teken in een assenstelsel de lijnen $y = 2 x - 3$ , $y = 2 x - 1$ , $y = 2 x + 1$ en $y = 2 x + 3$ .

Kleur het gebied waar de punten $(x, y)$ liggen waarvoor geldt: $y > 2 x + 3$ .

Gebruik een andere kleur om het gebied aan te geven waar geldt: $2 x - 1 < y < 2 x + 1$ .
Dat is het gebied waarvoor geldt: $y < 2 x + 1$ en $y > 2 x - 1$ .

De gelijkheid $y = a x + b$ beschrijft een rechte lijn.
De ongelijkheid $y < a x + b$ beschrijft het gebied onder die lijn.
De ongelijkheid $y > a x + b$ beschrijft het gebied boven die lijn.

Als de ongelijkheid een andere vorm heeft, is het verstandig een punt in te vullen om uit te zoeken welk gebied (boven of onder de lijn) bij de ongelijkheid hoort.
Bijvoorbeeld: in de figuur is het gebied horend bij de ongelijkheid $2 x - 3 y \geq ‐ 3$ gekleurd. Het juiste gebied is onder de lijn, ondanks het teken $\geq$ in de ongelijkheid. Vul maar een punt in.

Bij toetsen met $50$ meerkeuzevragen wordt geteld hoeveel vragen een kandidaat goed heeft. Dit aantal noemt men de score $X$ . Hierna wordt de score $X$ omgezet in een cijfer $Y$ . Een kandidaat die niets goed heeft krijgt het cijfer $1$ ; dus bij $X = 0$ hoort $Y = 1$ . Wie alle vragen goed beantwoord heeft krijgt natuurlijk het cijfer $10$ ; dus bij $X = 50$ hoort $Y = 10$ .

Stel dat er een lineair verband wordt gehanteerd om de score $X$ in het cijfer $Y$ om te rekenen.

Een kandidaat heeft $40$ vragen goed.

Bereken zijn cijfer in één decimaal nauwkeurig.

Bij het cijfer $5,5$ ligt de omslag van voldoende naar onvoldoende. Daarom noemen we de bijbehorende score de omslagscore.

Welke score is dat?

Stel een formule op voor het verband tussen $X$ en $Y$ .

Teken de bijbehorende grafiek.

Een lineair verband wordt gehanteerd bij toetsen van normale moeilijkheidsgraad. Als de toetsvragen aan de moeilijke kant zijn, hoeft de kandidaat minder vragen goed te hebben om aan een zelfde cijfer te komen dan bij een toets van normale moeilijkheid.

Aan welke kant van de grafiek uit onderdeel d liggen de punten $(X, Y)$ dan? Geef een ongelijkheid voor dat gebied.

Als de vragen aan de moeilijke kant zijn, wordt de score dus anders omgerekend naar een cijfer dan bij normale moeilijkheidsgraad. De omslagscore wordt verlaagd; de kandidaat hoeft dan minder antwoorden goed te hebben voor een voldoende cijfer. Omgekeerd kan het ook: bij makkelijke toetsen wordt de omslagscore verhoogd. Bij een verhoogde of verlaagde omslagscore bestaat de grafiek uit twee rechte lijnstukken. Bijvoorbeeld zo:

Stel een formule op voor beide lijnstukken. Vermeld bij de formules voor welke waarden van $X$ hij van toepassing is.

Bij een zekere toets van $50$ vragen wordt op deze manier het cijfer berekend; dus met een verschoven omslagscore.
Een kandidaat had $40$ vragen goed en kreeg het cijfer $7,5$ .

Bereken de omslagscore.

Welk cijfer krijgt iemand met $16$ vragen goed bij deze toets?

Op de markt verkoopt bakker Broodje krentenbollen en koffiebroodjes.
Voor een krentenbol heeft hij $12$ gram meel en $0,2$ gram gist nodig.
Voor een koffiebroodje heeft hij $10$ gram meel en $0,1$ gram gist nodig.
Hij heeft een voorraad van $8000$ gram meel en $100$ gram gist.
Neem aan dat de bakker $x$ krentenbollen en $y$ koffiebroodjes bakt.

Welke twee ongelijkheden volgen hieruit, afgezien $x \geq 0$ en $y \geq 0$ .

Bij deze vier ongelijkheden kun je grafieken tekenen. Elke ongelijkheid geeft een deel onder of boven een lijn dat voldoet aan de ongelijkheid. Het gebied dat voldoet aan alle ongelijkheden noemen we het toegestane gebied. Het toegestane gebied bevat dus alle punten $(x, y)$ die voldoen aan alle ongelijkheden.

Teken de vier ongelijkheden in een grafiek en kleur het toegestane gebied. Laat de $x$ -as lopen van $0$ tot en met $700$ en de $y$ -as van $0$ tot en met $1000$ .

Bereken de coördinaten van de drie hoekpunten ( $(0,0)$ niet meegerekend) van het toegestane gebied.

De winst op een krentenbol is $45$ cent en op een koffiebroodje $35$ cent.

Bij welk aantal krentenbollen en koffiebroodjes is de winst voor de bakker maximaal? Hoeveel is de winst dan?

Een transportbedrijf moet minimaal $798$ Deense karren vervoeren van Amsterdam naar het Ruhrgebied. Het bedrijf beschikt over $x$ kleine en $y$ grote vrachtwagens.
Een kleine wagen kan $24$ karren vervoeren en kost $€ 500, -$ per dag en een grote wagen kan $42$ karren vervoeren en kost $€ 900, -$ per dag.
Het aantal vrachtwagens per dag mag niet meer zijn dan $28$ .

Welke twee ongelijkheden volgen hieruit, afgezien $x \geq 0$ en $y \geq 0$ ?

Teken het toegestane gebied. Laat de $x$ -as lopen van $0$ tot en met $36$ en de $y$ -as van $0$ tot en met $28$ .

Bereken de coördinaten van de drie hoekpunten van het toegestane gebied.

Bij hoeveel kleine en hoeveel grote wagens zijn de kosten minimaal? Wat zijn de kosten dan?

In een fabriek worden twee typen auto’s geassembleerd (in elkaar gezet), per dag minstens $10$ van type S en $8$ van type TD. Beide typen hebben dezelfde carrosserie. Daarvan zijn er per dag $25$ beschikbaar. Het assembleren van een auto van type S kost $50$ arbeidsuren, het assembleren van een auto van het type TD kost $100$ arbeidsuren. Per dag zijn er hiervoor maximaal $1800$ arbeidsuren per dag beschikbaar.
Stel dat er per dag $x$ auto’s van type S en $y$ auto’s van type TD gemaakt worden.

Aan welke vier voorwaarden moeten $x$ en $y$ voldoen (afgezien van $x \geq 0$ en $y \geq 0$ )?

Teken het toegestane gebied. Laat de assen lopen van $0$ tot en met $26$ .

Bereken de coördinaten van alle hoekpunten van het toegestane gebied.

De winst op een auto van type S is $2750$ euro en de winst op een TD is $2500$ euro.

Welk productieschema levert de meeste winst op en hoe groot is die winst?

Isolijnen

Wanneer je wilt nagaan of je een gezond gewicht hebt, dan kun je daarvoor de Body Mass Index ( $ B M I$ ) gebruiken. De BMI bereken je met de formule: $B M I = \frac{G}{L^{2}}$ .
Daarbij is $G$ je gewicht in kg en $L$ je lengte in meters.

Maak een formule waarbij $L$ wordt uitgedrukt in $G$ voor iemand met een $ B M I$ van $20$ .
Schrijf je formule in de vorm $L = a \cdot G^{b}$ met $a$ en $b$ in 2 decimalen nauwkeurig.

Voor de $B M I$ gelden de volgende vuistregels:

$B M I < 18,5$ : ondergewicht
$18,5 \leq B M I < 25$ : normaal gewicht
$25 \leq B M I < 30$ : overgewicht
$B M I \geq 30$ : ernstig overgewicht (obesitas)

In de grafiek hieronder staan twee van de drie kromme lijnen getekend die bij grenzen van deze vier gebieden horen. De grafiek staat ook op het werkblad.

Teken de derde kromme grenslijn in de grafiek op het werkblad erbij en geef van elk van de vier gebieden die je dan krijgt aan welke conclusie over het gewicht van de persoon erbij hoort. Licht je antwoord toe.

Leg met behulp van de formule uit waarom mensen met een gewicht van $125$ kg vrijwel allemaal een verhoogd risico voor hart- en vaatziekten hebben.

In de software van de app Pokémon-Go is van elke Pokémon terug te vinden hoe zwaar en hoe groot ze zijn. Hieronder staat dit van de $151$ eerste generatie Pokémon weergegeven in een grafiek (met logaritmische schaal op de verticale as). De lengte is in cm en het gewicht in kg.

Bereken met de figuur afgerond op 1 decimaal de $B M I$ van de Arbok.
Hoe gezond is de Arbok volgens menselijke maatstaven?

In de grafiek bij opgave 82 zijn meerdere kromme lijnen getekend, elk bij een andere waarde van de $B M I$ .
De (kromme) lijnen in zo'n bundel grafieken worden iso-lijnen genoemd. (Het woord 'iso' komt uit het Grieks en betekent gelijk.)
Bij aardrijkskunde ben je vast al wel eens een keertje tegengekomen: grafieken met isobaren (lijnen met gelijke luchtdruk), of isohoogtelijnen (lijnen met gelijke hoogte). Isobaren zie je ook regelmatig op tv bij het weerpraatje om hoge en lage drukgebieden aan te geven.

Verf is een bijzondere stof. Wanneer je het aanbrengt, is het vloeibaar, na het drogen is het hard. Verf bestaat namelijk uit vaste stof die opgelost is in een vloeistof die tijdens het drogen verdampt.
We noemen het aantal vierkante meters dat met een liter verf geschilderd kan worden het rendement.
Het rendement kun je berekenen met de formule: $R = \frac{10 V}{d}$
Hierin is:

$R$ het rendement (in m²/liter);
$V$ het percentage vaste stof van de verf;
$d$ de dikte van de verflaag (in micrometer)
( $1$ micrometer is $0,001$ mm).

Op een blik verf staat vermeld dat het percentage vaste stof $67$ is en dat het rendement $12$ m²/liter is.

Bereken de dikte van de verflaag in micrometer waar de fabrikant blijkbaar van uitgegaan is.

Verf van topmerken is per liter duurder dan verf van huismerken van doe-het-zelfzaken. Maar verf van huismerken bevat meestal een kleiner percentage vaste stof dan verf van topmerken.
Om te weten welke verf het goedkoopste is, moet je dus niet kijken naar de prijs per liter, maar naar de prijs per vierkante meter aangebrachte verf.

Een huismerkverf kost $21$ euro per liter en heeft een percentage vaste stof van $30$ . Verf van een topmerk kost $25$ euro per liter en heeft een percentage vaste stof van $40$ .
We vergelijken van beide merken een verflaag van $50$ micrometer dikte.

Onderzoek welke verf het goedkoopste is.

Hieronder staat een grafiekenbundel voor de dikte en het rendement bij een aantal waarden van het percentage vaste stof. Deze grafiek staat ook op het werkblad.

Teken zo goed mogelijk op het werkblad de lijn bij $V = 10$ in de grafiek erbij.

Arceer het gebied waarvoor het vaste stof percentage groter dan $30$ is, en de dikte groter dan $20$ micrometer en het rendement minder dan $20$ m²/liter.
Hoe kun je dit gebied met ongelijkheden beschrijven?

We nemen een verfdikte van $50$ micrometer en kijken naar $V$ als functie van $R$ .

Wat voor soort verband is er dan tussen $V$ en $R$ ? Geef een bijbehorende formule.

We bekijken nogmaals de Body Mass Index: $B M I = \frac{G}{L^{2}}$ ,
met $L$ de lengte in meter en $G$ het gewicht in kilogram.
Het aanbevolen gebied voor een gezond gewicht is een $B M I$ tussen $18,5$ en $25$ . Als de $B M I$ daarboven zit ben je te zwaar.

Kees zegt: "Mijn moeder zei vroeger: als je net zoveel kilogrammen weegt als je centimeters boven de meter meet, heb je een goed gewicht. En daar zit ik precies op. Maar mijn BMI is maar net in orde, ik zit op de grens van te zwaar.”

Hoeveel weegt Kees en hoe lang is hij?

Een belangrijk onderdeel van een boot is de schroefas. Deze as wordt door de motor in beweging gebracht. Daardoor gaat de schroef van het schip draaien en dan kan de boot varen. De motor, de schroefas en de schroef samen noemen we hier het aandrijfsysteem van de boot.
De minimale diameter van de schroefas die nodig is, hangt af van de prestaties die de motor van deze boot kan leveren. Hieronder zie je een grafiek om de minimale diameter van de as vast te stellen. Deze figuur vind je ook op het werkblad. In dit zogenoemde nomogram zie je drie schalen:

de linkerschaal: het aantal toeren (of omwentelingen) per minuut (tpm). Dit wordt ook wel het toerental genoemd;
de middelste schaal: de diameter van de schroefas, gemeten in mm;
de rechterschaal: het vermogen, uitgedrukt in paardenkracht (pk).

Zoals je kunt zien, is elk van de drie schalen niet-lineair.

Wanneer je een lijn trekt door de drie schalen kun je een van de drie waarden bepalen als je de andere twee weet. Zo hoort volgens de figuur bij een motor van $200$ pk en $1200$ tpm een asdiameter van (ten minste) $45$ mm.

Python-Drive is een bedrijf dat aandrijfsystemen maakt. Op hun website staat dat alle systemen van het type P60-K ( $70$ pk, $2600$ tpm) een asdiameter hebben tussen $30$ en $40$ mm.

Onderzoek met behulp van de figuur op het werkblad of de asdiameter van dit type groot genoeg is.

In het voorbeeld in het nomogram zie je een motor van $200$ pk en $1200$ tpm met een bijbehorende asdiameter van $45$ mm. Er zijn ook wel motoren te vinden met een ander vermogen en een ander toerental waarbij dezelfde asdiameter van $45$ mm hoort. Dan valt op dat een groter vermogen een hoger toerental oplevert.

Leg uit hoe je dat in het nomogram kunt zien.

Lloyd’s is een organisatie die zich bezighoudt met het opstellen van regels voor de controle op de zeewaardigheid van schepen. Volgens een van deze regels moet de diameter $D$ van de schroefas voldoen aan de volgende formule:
$D = 79,78 \cdot \sqrt[3]{\frac{P}{R}}$
In deze formule is $D$ uitgedrukt in mm, het vermogen $P$ uitgedrukt in pk en het toerental $R$ in tpm.

In de figuur hieronder zie je voor enkele waarden van $D$ het verband getekend tussen de bijbehorende waarden van $P$ en $R$ .

In de figuur kan elk aandrijfsysteem met een punt worden weergegeven. Zo hoort het punt $A$ bij het aandrijfsysteem met waarden $(1200, 150, 40)$ .

In de figuur is punt $B$ aangegeven. Bij dit aandrijfsysteem is het vermogen goed af te lezen. De waarde van het toerental is echter niet nauwkeurig af te lezen, maar met behulp van de formule kunnen we deze wel berekenen.

Bereken met behulp van de formule het toerental dat bij dit aandrijfsysteem hoort.

In enkele gevallen komt het voor dat de asdiameter al bekend is, bijvoorbeeld wanneer alleen de motor moet worden vervangen. Dan is het handig om de formule anders te schrijven.
We gaan uit van een asdiameter van $30$ mm.

Herschrijf de formule zo dat je een formule krijgt waarin $P$ uitgedrukt wordt in $R$ . Schrijf je formule zo eenvoudig mogelijk.
Wat voor soort verband is er tussen $P$ en $R$ ?

Als je naar de figuur met de iso- $D$ -lijnen kijkt, dan lijken dit allemaal rechte lijnen. En je zou je af kunnen vragen of ze bij verlenging door de oorsprong gaan.

Leg uit dat de iso-lijnen inderdaad allemaal rechte lijnen door de oorsprong zijn.