Zoals we ook in wiskunde b gedaan hebben, spreken we het volgende af.

Als de hoekpunten van een driehoek $A$ , $B$ en $C$ heten, noemen we de (grootte van de) hoeken achtereenvolgens $α$ , $β$ en $γ$ .
De (lengte van de) zijden tegenover die hoekpunten noemen we achtereenvolgens $a$ , $b$ en $c$ .

We weten:

een gestrekte hoek is $180 °$ ;
een rechte hoek is de helft daarvan, dus $90 °$ ;
de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.

Zoals al in het voorwoord gezegd, proberen we van vanuit nader te bepalen uitgangspunten, door redeneren een bouwwerk van stellingen te creëren.
Deze uitgangspunten noemen we axioma's.

We willen in dit hoofdstuk wat preciezer zijn. We noteren daarom de lengte van lijnstuk $A B$ met $| A B |$ .

Overstaande hoeken
Twee lijnen snijden elkaar. Ze maken bij het snijpunt vier hoeken.

Beredeneer met het uitgangspunt dat een gestrekte hoek $180 °$ is, de overstaande hoeken (de hoeken die tegenover elkaar liggen, bijvoorbeeld de twee gekleurde hoeken) even groot zijn.

C. F. Gauss
1777-1855

Uit de onderbouw weet je ook dat de som van de hoeken van een driehoek $180 °$ is.

In de wiskundewereld is tot in de negentiende eeuw aan de juistheid hiervan getwijfeld. Zo heeft de grote geleerde C. F. Gauss zeer nauwkeurig de hoeken gemeten van de driehoek tussen drie toppen in het Harzgebergte (Duitsland); hij vond geen significante afwijking van $180 °$ .
Gauss en anderen ontdekten later dat er ook andere soorten meetkunden bestaan (bijvoorbeeld op de bol) waarbij de hoekensom van een driehoek geen $180 °$ is.

Veronderstel dat we weten dat de hoekensom van elke driehoek hetzelfde aantal graden is - noem dat $s$ - maar dat we (nog) niet weten dat $s = 180$ .

Beredeneer met behulp van nevenstaand plaatje dat moet gelden: $s = 180$ .

(hint)

In het plaatje zie je drie driehoeken.

In deze opgave zie je nog een andere manier om ervan overtuigd te raken dat de hoekensom in een driehoek $180 °$ is.
We trekken een lijn door de middens $P$ en $Q$ van twee zijden van driehoek $A B C$ . We spiegelen het bovenste stuk $P Q C$ in deze lijn; het spiegelbeeld $D$ van $C$ komt dan op $A B$ te liggen.

Waarom geldt: $| A P | = | D P |$ en $| B Q | = | D Q |$ ?

Leg uit dat de drie hoeken met hoekpunt $D$ zijn: $α$ , $β$ en $γ$ en dat dus $α + β + γ = 180 °$ .

De hoekensom van een driehoek is $180 °$ .

Gelijkzijdige driehoek
Van een driehoek zijn de zijden even lang. We noemen zo'n driehoek gelijkzijdig.

Beredeneer dat de hoeken van de driehoek $60 °$ zijn.

Buitenhoek
In het plaatje hiernaast is de zogenaamde buitenhoek bij hoekpunt $B$ aangegeven.

Beredeneer dat een buitenhoek van een driehoek gelijk is aan de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken (dat zijn de hoeken met een stip).

Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken.

Definitie
Twee lijnen zijn evenwijdig als ze geen gemeenschappelijk punt hebben.

Z-hoeken
Hiernaast worden twee lijnen gesneden door een derde lijn. In het plaatje zijn twee hoeken aangegeven: $α$ en $β$ .
Gegeven is dat $α = β$ .

Beredeneer dat hieruit volgt dat de twee lijnen evenwijdig zijn.

(hint)

Begin zo: als de lijnen niet evenwijdig zouden zijn, dan zouden ze elkaar snijden.

Het omgekeerde geldt ook. Als de lijnen evenwijdig zijn, dan zijn de hoeken $α$ en gelijk.

F-hoeken
Hiernaast worden twee lijnen gesneden door een derde lijn. In het plaatje zijn twee hoeken aangegeven: $α$ en $γ$ . Gegeven is dat $α = γ$ .

Beredeneer dat hieruit volgt dat de twee lijnen evenwijdig zijn.

(hint)

Gebruik de opgaven 1 en 6.

Het omgekeerde geldt ook: als de twee lijnen evenwijdig zijn, dan zijn de hoeken $α$ en $γ$ gelijk.

Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan zijn de F-hoeken en Z-hoeken gelijk.
En omgekeerd: als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn, waarbij een paar gelijke F-hoeken of Z-hoeken optreedt, dan zijn die twee lijnen evenwijdig .

Hoekensom van een vierhoek

Beredeneer - uitgaande van de hoekensom van een driehoek - dat de hoekensom van een vierhoek $360 °$ is.

Hoe groot is de hoekensom van een $n$ -hoek? ( $n \geq 3$ )

Van een regelmatige $n$ -hoek zijn de hoeken allemaal even groot.

Hoe groot is elk van de hoeken?

Twee lijnen snijden elkaar. Ze maken in het snijpunt vier hoeken. Van elk van die hoeken tekenen we de bissectrice (dat is de lijn die de hoek in twee gelijke delen verdeelt). Die zijn in de figuur gestippeld.

Toon aan dat de bissectrices van de stompe hoeken in elkaars verlengde liggen (dus eigenlijk één lijn vormen). (Dat geldt ook voor de bissectrices van de twee scherpe hoeken.)

Toon aan dat deze twee lijnen loodrecht op elkaar staan.

Terugblik
We hebben enkele uitgangspunten gekozen. Van daaruit hebben we nieuwe feiten gevonden. In sommige redeneringen maakten we gebruik van feiten die we al eerder beredeneerd hadden. De feiten zijn niet zo schokkend: eigenlijk ligt de waarheid ervan erg voor de hand. Op deze manier maken we een bouwwerk: straks kunnen we ook feiten beredeneren die helemaal niet zo vanzelfsprekend zijn.
De kracht van het bouwwerk is dat je feiten die eenmaal bewezen zijn (en dus in het bouwwerk zijn opgenomen) nooit meer opnieuw hoeft te bewijzen: die kan je in het vervolg direct gebruiken. Belangrijke bouwstenen die we tot nu toe hebben, zijn:

de stelling van Pythagoras (zie 4vb deel 1, hoofdstuk 2 Meetkunde en algebra);
de hoekensom van een driehoek (en vierhoek);
Z- en F-hoeken;
overstaande hoeken;
de stelling van de buitenhoek.

In het vervolg zul je je redeneringen (bewijzen) moeten baseren op deze uitgangspunten en op zaken die je daaruit al eerder hebt afgeleid.

Definitie
Een lijn is raaklijn aan een cirkel als hij precies één punt met de cirkel gemeenschappelijk heeft.

Een cirkel met middelpunt $M$ wordt door een lijn gesneden in de punten $A$ en $B$ .

Beredeneer dat de stralen $M A$ en $M B$ niet loodrecht op de lijn staan.

Een lijn gaat door punt $A$ van een cirkel met middelpunt $M$ . De lijn staat loodrecht op de straal $M A$ .

Bewijs dat de lijn raaklijn is aan de cirkel

Een lijn is raaklijn aan een cirkel met middelpunt $M$ . Het raakpunt is $A$ .

Bewijs dat de lijn loodrecht staat op de straal $M A$ .

Een lijn $k$ raakt een cirkel met middelpunt $M$ in $A$ dan en alleen dan als lijn $k$ loodrecht op lijn $M A$ staat.

Driehoek $A B C$ is rechthoekig in $C$ . Lijnstuk $C D$ is het hoogtelijnstuk vanuit $C$ van driehoek $A B C$ .
Zodoende zijn er drie rechthoekige driehoeken in de figuur te zien.

Beredeneer dat deze drie driehoeken gelijke hoeken hebben. (Dus ze zijn gelijkvormig.)

We herhalen uit hoofdstuk 15 Gelijkvormigheid van 2 vwo.

Definitie
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de een een uitvergroting van de ander is.
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze dezelfde hoeken hebben.

De lijnen $a$ en $b$ zijn evenwijdig. Het punt $S$ ligt niet op $a$ of op $b$ . Zie voor de overige gegevens de figuur.

Bewijs dat de driehoeken $A B S$ en $C D S$ gelijkvormig zijn.

$D$ ligt op de lijn AS en $B$ ligt op de lijn CS, zó dat de hoeken $A B S$ en $C D S$ recht zijn.

Bewijs dat de driehoeken $A B S$ en $C D S$ gelijkvormig zijn.

Zijn twee vierhoeken met gelijke hoeken gelijkvormig?