Hoofdstukken > Inleiding complexe getallen

De verzameling van de reële getallen stellen we ons voor op een getallenlijn. Bij elk punt van de getallenlijn hoort een reëel getal en omgekeerd.
Om de complexe getallen voor te stellen, gebruiken we het platte vlak waarin een assenstelsel is gekozen. Het getal $a + b i$ laten we corresponderen met het punt $(a, b)$ .
Bij elk punt van het platte vlak hoort zodoende een complex getal en omgekeerd. We spreken van het complexe vlak.

Van het getal $z = a + b i$ noemen we $a$ het reële deel en $b$ het imaginaire deel.
We noteren dat zo: $Re (z) = a$ en $Im (z) = b$ .
In plaats van de $x$ -as en $y$ -as spreken we ook wel van de de reële en de imaginaire as.

Opmerking:

Let op: het imaginaire deel van een complex getal is dus reëel.

We kunnen de verzameling van de reële getallen opvatten als een deel van de complexe getallen: het zijn namelijk de getallen $z = a + b i$ met $b = 0$ .
Zoals al opgemerkt, gedragen zich de complexe getallen met de gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging net zoals de reële getallen.
Zo is er een zogenaamd neutraal getal voor de optelling $0 = 0 + 0 \cdot i$ waarvoor geldt: $z + 0 = 0 + z = z$ voor elk complex getal $z$ .
En er is een neutraal getal voor de vermenigvuldiging
$1 = 1 + 0 \cdot i$ waarvoor geldt: $1 \cdot z = z \cdot 1 = z$ voor elk complex getal $z$ .
Verder heeft elk getal complex getal $z$ een tegengestelde; dat is het getal waarvan de som met $z$ gelijk is aan $0$ . Het tegengestelde van $z$ noteren we met $‐ z$ . Als $z = a + b i$ , dan $‐ z = ‐ a - b i$ .
We zullen nog zien dat elk complex getal $z \neq 0$ een omgekeerde heeft; dat is het complexe getal waarvan het product met $z$ gelijk is aan $1$ . Het omgekeerde van $z$ noteren we als $z^{‐ 1}$ of als $\frac{1}{z}$ .

Teken in het complexe vlak de volgende verzamelingen:
de getallen $z$ met:

$Re (z) = 0$	$Im (z) = 2$
$Re (z) = Im (z)$	$Re (z) + Im (z) > 1$

In het plaatje hiernaast zijn de getallen $z$ , $w$ en $u$ aangegeven.

Teken op het werkblad de getallen $‐ u$ , $u + w$ , $z + w$ , $2 u$ , $‐ 2 z$ aan.

Twee complexe getallen optellen gaat in het complexe vlak ‘vectorieel’.

Vermenigvuldigen gaat wat moeilijker.

Teken in het complexe vlak de getallen $a = 1 + i$ , $b = 2 - i$ en $c = ‐ 3 + 2 i$ .
Teken vervolgens $i \cdot a$ , $i \cdot b$ en $i \cdot c$

Teken nu op het werkblad bij opgave 17 $i \cdot u$ , $i \cdot v$ en $i \cdot w$

Meetkundig gezien is vermenigvuldigen met $i$ het draaien om $O$ over $90 °$ in tegenwijzer richting.

Toon dat aan.

We komen hierop nog terug.

In het volgende bekijken we algemener wat vermenigvuldigen met een complex getal in het complexe vlak voorstelt.
Hiervoor zijn wat nieuwe begrippen handig.

Met de positieve reële as bedoelen we de halve lijn waarop de getallen $z$ met $Im (z) = 0$ en $Re (z) > 0$ liggen.

In de figuur hiernaast is het getal $z = ‐ 2 - 2 i$ getekend met bijbehorende vector. $ϕ$ is de hoek (in radialen) die deze vector met de positieve $x$ -as maakt.

Bereken $ϕ$ en de afstand van $z$ tot $0$ exact

Doe dat ook voor de getallen $w = 1 - i \sqrt{3}$ en $u = ‐ 10$ .

Bereken in radialen de hoek die de vector bij $2 - 3 i$ met de positieve reële as maakt in één decimaal nauwkeurig.

Het argument van een complex getal $z$ , $z \neq 0$ , is de hoek $ϕ$ in radialen die de vector bij $z$ met de positieve $x$ -as maakt.
De absolute waarde van $z$ is de afstand van $z$ tot $0$ .
Het argument van $z$ noteren we met $\arg (z)$ en de absolute waarde van $z$ met $| z |$ .

In de vorige opgave hebben we gezien dat $| ‐ 2 - 2 i | = 2 \sqrt{2}$ en $\arg (‐ 2 - 2 i) = 1 \frac{1}{4} π$ . Je zou ook kunnen zeggen: $\arg (‐ 2 - 2 i) = ‐ \frac{3}{4} π$ , misschien zelfs $\arg (‐ 2 - 2 i) = ‐ 2 \frac{3}{4} π$ .
Eigenlijk zijn we alleen maar geïnteresseerd in het antwoord op een veelvoud van $2 π$ na. Indien nodig, kiezen we $\arg (z)$ zó, dat $‐ π < \arg (z) \leq π$ .

Intermezzo

Poolcoördinaten
Op het radarscherm van een schip lees je af welke afstand $r$ een voorwerp tot het schip heeft en ook de richting waarin je het voorwerp ziet. Die richting kun je bijvoorbeeld aangeven met de hoek $ϕ$ die de verbindingslijn schip-voorwerp met de oostelijke windstreek maakt.
Vaak is het handig om een punt in het vlak met behulp van een getallenpaar weer te geven. Tot nu toe hebben we dat zó gedaan: we kiezen een punt, de oorsprong, (ons uitgangspunt) nemen hierdoor twee lijnen die loodrecht op elkaar staan, de $x$ -as en de $y$ -as enzovoort. Het getallenpaar bij een punt dat je zo krijgt, noemen we rechthoekscoördinaten van dat punt.

Je zou het ook anders kunnen doen. Je kiest vanuit de oorsprong een richting (bij ons valt die steeds samen met de richting van de positieve $x$ -as). Een punt ligt dan vast door zijn afstand $r$ tot de oorsprong en de richting waarin het punt ligt. Die richting geven we aan met een hoek, de hoek die die richting met de positieve $x$ -as maakt. Het getallenpaar $(r, ϕ)$ bij een punt dat je nu krijgt, noemen we de poolcoördinaten van dat punt.
Meestal kiezen we hoek ϕ zó, dat $‐ π < ϕ \leq π$ .
Bij rechthoekscoördinaten hoort 'ruitjespapier' (met vierkante ruitjes) en bij poolcoördinaten poolroosterpapier.

Uit hoofdstuk 8 goniometrie vwo5 wiskunde b, zal duidelijk zijn dat een punt met poolcoördinaten $(r, ϕ)$ rechthoekscoördinaten $(a, b)$ heeft met:
$a = r \cdot \cos (ϕ)$ en $b = r \cdot \sin (ϕ)$ .
Met de GR kun je in poolcoördinaten rekenen. Zoek uit hoe dat gaat.

Als $| z | = r$ en $\arg (z) = ϕ$ , dan $z = r \cdot \cos (ϕ) + r \cdot \sin (ϕ) \cdot i$ .

Ga na dat bovenstaande juist is.

Beschrijf de ligging van de punten $z$ met: $\arg (z) = \frac{3}{4} π$ .
Beschrijf ook de ligging van de punten $z$ met: $| z | = 1$

We bekijken nu de punten $z \neq 0$ met de volgende eigenschap:
$\arg (z) = \frac{1}{2} π \cdot | z |$ op een veelvoud van $2π$ na.
Zij vormen een kromme $K$ .

Bereken exact de snijpunten van de kromme met de reële as, de imaginaire as en de lijnen $y = x$ en $y = ‐ x$ , voor zover de afstand tot $0$ niet groter dan $4$ is.

Geef een parametervoorstelling van $K$ en teken $K$ .

Stelling 1
Voor twee complexe getallen $z$ en $w$ geldt:

$| z \cdot w | = | z | \cdot | w |$
$\arg (z \cdot w) = \arg (z) + \arg (w)$ (op een veelvoud van $2 π$ na).

Dit bewijzen we in de volgende opgave.

Neem aan: $| z | = r$ , $| w | = s$ , $\arg (z) = α$ en $\arg (w) = β$ , dan $z = r \cdot \cos (α) + r \cdot \sin (α) \cdot i$ en $w = s \cdot \cos (β) + s \cdot \sin (β) \cdot i$ .

Toon aan: $z \cdot w =$
$r s \cdot (\cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β) + i \cdot \sin (α) \cos (β) + i \cdot \cos (α) \sin (β))$ .

Hoe volgt uit a: $| z \cdot w | = | z | \cdot | w |$ en $\arg (z \cdot w) = \arg (z) + \arg (w)$ ? (op een veelvoud van $2 π$ na)?

(hint)

Gebruik de somformules goniometrie.

Hoe kun je met de formules hierboven zien dat het product van twee unitaire getallen weer unitair is?

Wat is het verband tussen $| z^{2} |$ en ${| z |}^{2}$ ?

Wat is het verband tussen $\arg (z^{2})$ en $\arg (z)$ ?

Wat kun je van $z$ zeggen als $| z \cdot w | = | w |$ voor elk getal $w$ ?

In opgave 18 heb je gezien dat vermenigvuldigen met $i$ draaien over $90 °$ is.

Hoe volgt dat uit stelling 1?

We bekijken de vergelijking $z^{3} = 1$ .

Laat zien dat $z$ unitair is.

Uit $z^{3} = 1$ volgt dat $3 \cdot \arg (z) = 0$ op een veelvoud van $2 π$ na. Leg dat uit.

Welke drie complexe getallen zijn dus oplossing van de vergelijking $z^{3} = 1$ ?

We bekijken de vergelijking $z^{4} = 1$ .

Teken de vier oplossingen van de vergelijking in het complexe vlak en geef de oplossingen.

We bekijken de vergelijking $z^{8} = 1$ .

Teken de oplossingen van de vergelijking in het complexe vlak.
Geef de exacte oplossingen van de vergelijking.

De oplossingen van de vergelijking $z^{n} = 1$ , met $n = 3, 4, 5, \dots$ vormen een regelmatige $n$ -hoek op de eenheidscirkel in het complexe vlak. Ze zijn van de vorm $\cos (\frac{k}{n} \cdot 2 π) + i \sin (\frac{k}{n} \cdot 2 π)$ met $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$

We bekijken de vergelijking $z^{6} = 1$ .

Teken de oplossingen van deze vergelijking in het complexe vlak.

Eén van de oplossingen heeft argument $\frac{1}{3} π$ , die oplossing noemen we $ε$ .

Schrijf $ε$ in de vorm $\dots + \dots \cdot i$ , met op de stippellijnen reële getallen, exact.

Wat is de meetkundige betekenis van de vermeningvuldiging met $ε$ ?

Druk de andere oplossingen van de vergelijking $z^{6} = 1$ in $ε$ uit.

Hoeveel is: $ε + ε^{2} + ε^{3} + ε^{4} + ε^{5}$ ?

(hint)

Gebruik onderdeel a en neem telkens twee machten van

ε

handig samen.

De getallen $‐ ε$ en $ε^{2} + 1$ zijn machten van $ε$ .

Welke machten? Bewijs je bewering.

Bereken $| ε^{2} - 1 |$ exact.

Gegeven is de vergelijking $z^{8} = ‐ 1$ .

Wat kun je zeggen van $\arg (z)$ ?

Geef de exacte oplossing van de vergelijking $z^{8} = ‐ 1$ .

Gegeven is de vergelijking $z^{3} = ‐ 8$ .

Wat kun je zeggen van $\arg (z)$ ?

Geef $| z |$ exact.

Geef de exacte oplossingen van de vergelijking $z^{3} = ‐ 8$ .

Geef de exacte oplossingen van de vergelijking $z^{3} = i$ .

Geef de exacte oplossingen van de vergelijking $z^{3} = ‐ i$ .

In opgave 15 van de vorige paragraaf hebben we een oplossing van de vergelijking $z^{3} = 2 + 2 i$ . gevonden.
Er zijn drie oplossingen.

Geef van de drie oplossingen het argument en de absolute waarde.

Eén van de oplossingen heeft argument $\frac{3}{4} π$ .

Welke oplossing is dat?

Eén van de oplossingen van de vergelijking $z^{3} = 2 - 2 i$ . heeft argument $‐ \frac{3}{4} π$ .

Ga dat na en geef die oplossing exact.

Geef de exacte oplossing van de vergelijking $z^{2} = 2 - 2 i \sqrt{3}$ .