6.5 Het uitproduct >

Hoofdstukken > Ruimte

In deze paragraaf wordt het uitproduct behandeld. Dat komt hier min of meer uit de lucht vallen. Het is een verkorte versie van de volgende paragraaf, waarin het uitproduct op meer natuurlijke wijze geïntroduceerd wordt.

Je kunt volstaan met één van beide paragrafen.

Definitie
Gegeven is een onafhankelijk paar vectoren $(\vec{a}, \vec{b})$ met
$\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ en $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ .
We definiëren de vector $\vec{a} \times \vec{b}$ als $(\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})$ .
We noemen $\vec{a} \times \vec{b}$ het uitproduct van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .

Gegeven zijn de vectoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{c} = (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ .

Bereken $\vec{a} \times \vec{a}$ , $\vec{a} \times \vec{b}$ , $\vec{b} \times \vec{a}$ , $\vec{b} \times \vec{c}$ en $\vec{c} \times \vec{a}$ .

De vectoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ en $\vec{c}$ zijn als in de vorige opgave.

Bereken $(2 \vec{a}) \times \vec{b}$ , $\vec{a} \times (2 \vec{b})$ en $2 (\vec{a} \times \vec{b})$

Bereken $\vec{a} \times \vec{c}$ , $\vec{b} \times \vec{c}$ en $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}$ .
Wat is het verband tussen deze drie vectoren?

Bereken $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ en $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ .

Wat je in bovenstaande opgaven gezien hebt, geldt algemeen,

Eigenschappen van het uitproduct

$\vec{a} \times \vec{b} = ‐ \vec{b} \times \vec{a}$ in het bijzonder $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ ,
$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$ ,
$\vec{a} \times \vec{b}$ staat loodrecht op $\vec{a}$ en op $\vec{b}$ .

Het bewijs van deze eigenschappen, volgt door 'uitschrijven'. Hieronder volgt een voorbeeld.
Neem aan: $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ en $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ , dan:
$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix}) =$
$a_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + a_{2} \cdot (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + a_{3} \cdot (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) = 0$ .

Neem aan: de punten $A$ , $B$ en $C$ liggen niet op één lijn.
Dan is $\vec{A B} \times \vec{A C}$ een normaalvector van vlak $A B C$ .

Leg uit dat bovenstaande volgt uit de eigenschappen van het uitproduct.

Gegeven zijn de punten $A (1,2,3)$ , $B (2,3,5)$ en $C (3,1,6)$ .

Bereken $\vec{A B} \times \vec{A C}$ .

Geef een vergelijking van vlak $A B C$ .

De kubus in de figuur hiernaast heeft ribben van lengte $2$ . $M$ is het midden van een ribbe en $N$ het midden van het rechter grensvlak van de kubus.

Bereken $\vec{n} = \vec{O M} \times \vec{O N}$ en ook $| \vec{n} |$ .

De hoek tussen de vectoren $\vec{O M}$ en $\vec{O N}$ noemen we $α$ .

Bereken $\cos (α)$ en $\sin (α)$ exact.

(hint)

Gebruik het inproduct.

Bereken de oppervlakte van het parallellogram met hoekpunten $O$ , $M$ en $N$ .

In de figuur hieronder zijn $O S R U$ en $O T Q U$ rechthoeken. Verder is $P (6,4,0)$ , $Q (0,4,3)$ en $R (6,0,3)$ .

Bereken $\vec{P Q} \times \vec{P R}$ .

Bereken de lengte van $\vec{P Q} \times \vec{P R}$ .

De hoek tussen de vectoren $\vec{P Q}$ en $\vec{P R}$ noemen we α.

Bereken $\cos (α)$ en $\sin (α)$ exact.

Bereken de oppervlakte van het parallellogram met hoekpunten $P$ , $Q$ en $R$ exact.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van vlak $P Q R$ met de coördinaatassen.

Gegeven zijn drie punten $P$ , $Q$ en $R$ die niet op één lijn liggen.
In opgave 66 en opgave 67 heb je gezien dat de lengte van
$\vec{P Q} \times \vec{P R}$ gelijk is aaan de oppervlakte van het parallellogram met hoekpunten $P$ , $Q$ en $R$ .
Dit geldt algemeen. Het bewijs zullen we niet geven. Je kunt het nalezen in De wetten van Kepler van Maris van Haandel.
De richting van vector $\vec{P Q} \times \vec{P R}$ kun je bepalen met de de zogenaamde kurkentrekkerregel: $\vec{P Q} \times \vec{P R}$ wijst in de richting waarin een kurkentrekker zich verplaatst, wanneer deze over de kleinste hoek van $\vec{P Q}$ naar $\vec{P R}$ wordt gedraaid.

Definitie
We noemen een rij van drie vectoren $(\vec{p}, \vec{q}, \vec{r})$ positief geörienteerd als een kurkentrekker over de kortste hoek van $\vec{p}$ naar $\vec{q}$ draaiend, in de richting van $\vec{r}$ beweegt, anders negatief geörienteerd

We vatten een en ander hieronder nog eens samen.

$\vec{p} \times \vec{q} = ‐ \vec{q} \times \vec{p}$ in het bijzonder $\vec{p} \times \vec{p} = \vec{0}$ ,
$(\vec{p} + \vec{q}) \times \vec{r} = \vec{p} \times \vec{r} + \vec{q} \times \vec{r}$ ,
$\vec{p} \times \vec{q}$ staat loodrecht op $\vec{p}$ en op $\vec{q}$ ,
$(\vec{p}, \vec{q}, \vec{p} \times \vec{q})$ is positief geöriënteerd,
De lengte van $\vec{p} \times \vec{q}$ is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door $\vec{p}$ en $\vec{q}$ .

We schrijven $\vec{p} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{q} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ en $\vec{r} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .

Bereken $\vec{p} \times \vec{q}$ , $\vec{q} \times \vec{r}$ en $\vec{r} \times \vec{p}$

We bekijken de balk met hoekpunten $O (0,0,0)$ $S (6,0,0)$ , $T (0,5,0)$ en $U (0,0,4)$ .

Bereken $(\vec{s} \times \vec{t}) \cdot \vec{u}$ .

$A B C O . E F G H$ is een parallellepipedum met $A (5,0,0)$ , $C (2,3,0)$ en $H (0, ‐ 2,6)$ .

Geef de coördinaten van de andere hoekpunten.

Bereken de oppervlakte van het grondvlak en vervolgens de inhoud van het parallellepipedum.

Bereken $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{h}$

In de opgaven 68 en 69 heb je voorbeelden gezien van de volgende stelling.

De inhoud van parallellepipedum $A B C D . E F G H$ gelijk is aan de absolute waarde van $(\vec{A B} \times \vec{A D}) \cdot \vec{A E}$ .

Dit kun je als volgt inzien.
Neem aan: $\vec{n}$ is een normaalvector van vlak $A B C D$ , dan is $\frac{| \vec{A E} \cdot \vec{n} |}{| \vec{n} |}$ de lengte van de projectie van de vector $\vec{A E}$ op de lijn door $A$ met richtingsvector $\vec{n}$ , dus de hoogte van het parallellepipedum.
Als je dit met de oppervlakte van parallellogram $A B C D$ vermenigvuldigt, krijg je de inhoud van het parallellepipedum. Neem nu voor $\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A D}$ , dan is $| \vec{n} |$ de oppervlakte van $A B C D$ , dus $\frac{| \vec{A E} \cdot \vec{n} |}{| \vec{n} |} | \vec{n} | = | (\vec{A B} \times \vec{A D}) \cdot \vec{A E} |$ is de inhoud van $A B C D . E F G H$ .

In de figuur staat parallellepipedum $A B C O . E F G H$ , met $A (3,0,0)$ , $C (6,5,0)$ en $H (‐ 3, ‐ 3,5)$ .

Geef de coördinaten van de andere hoekpunten.

Bereken de inhoud van het parallellepipedum.

Bereken de inhoud van het prisma $A B C . E F G$ .

Bereken de inhoud van piramide $A B C F$ .

(hint)

De inhoud van een piramide is

\frac{1}{3} \cdot oppervlakte grondvlak \cdot hoogte

$A B C D . E F G H$ is een kubus met ribbe $1$ . In de kubus is viervlak $B D E G$ getekend.

Ga na dat de inhoud van het viervlak gelijk is aan $\frac{1}{6} ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en bereken de inhoud van het viervlak.

Het viervlak krijg je door bij vier hoeken van de kubus piramides weg te halen.

Bereken de inhoud van het viervlak door dit te gebruiken.

In de figuur is een kubus met ribbe $2$ getekend.
$M$ en $N$ zijn middens van ribben en $P$ en $Q$ hoekpunten van de kubus.

Bereken de inhoud van piramide $M N P Q$ .

Blok $A B C O . E F G H$ is $4$ hoog, $3$ diep en $2$ breed.
$M$ is het midden van ribbe $B F$ .

Bereken de inhoud van viervlak $A C H M$ exact.