1

Het is de hoek α tussen de vectoren $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ . Dus $\cos (α) = ‐ \frac{1}{5}$ en $α = 102 °$ .

2

a

figuur bij opgave 2a

Het snijpunt van lijn $L R$ met de $x$ -as is $R_{s}$ en het snijpunt van lijn $L Q$ met de $y$ -as is $Q_{s}$ ,
De schaduw is driehoek $P Q_{s} R_{s}$ .

b

Uit gelijkvormigheid volgt: $S R_{s} = 3 \cdot R S = 9$ en $T Q_{s} = 2 \cdot T Q = 6$ .
Dus oppervlakte driehoek $P S R_{s} = 18$ , oppervlakte driehoek $P T Q_{s} = 18$ , oppervlakte vierhoek $O S P T = 24$ , oppervlakte driehoek $O R_{s} Q_{s} = 75$ . Dus oppervlakte schaduw is $15$ .

c

Teken een lijn door $U$ evenwijdig aan lijn $O P$ . Die snijdt de ribbe $R Q$ . Het snijpunt noemen we $V$ . Lijn $P V$ snijdt de $z$ -as in het gewenste punt $N$ .

figuur bij opgave 2c

d

$\vec{P Q} = (\begin{matrix} ‐ 6 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{P R} = (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 4 \\ 3 \end{matrix})$ , dus
$\vec{P Q} \times \vec{P R} = (\begin{matrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{matrix})$ .

e

Die oppervlakte is $\frac{1}{2} | (\begin{matrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{matrix}) | = 3 \sqrt{29}$ .

f

Vlak $P Q R$ heeft normaalvector $(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ , zie vorige onderdeel, dus een vergelijking is $2 x + 3 y + 4 z = 24$ . Dit vlak snijdt d $z$ -as in $(0,0,6)$ .

3

a

$\vec{A H} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$ en $\vec{C H} = (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 2 \\ 4 \end{matrix})$ , dus $\vec{u} = (\begin{matrix} 8 \\ 12 \\ 6 \end{matrix})$

a

De oppervlakte van driehoek $A C H$ is $\frac{1}{2} \cdot | \vec{u} | = \sqrt{61}$

c

Noem die hoek α. Dan is de hoek tussen $\vec{u}$ en $\vec{C E} = (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 2 \\ 4 \end{matrix})$ gelijk aan $90 ° - α$ .
$\cos (90 ° - α) = \frac{12}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{29}}$ , dus $α = 17 °$ .

d

Lijn $O P$ heeft pv $(x, y, z) = (4 t,6 t,3 t)$ .
Een vergelijking van vlak $A C H$ is: $4 x + 6 y + 3 z = 12$ . Dus de waarde van $t$ die bij $P$ hoort is oplossing van de vergelijking: $4 \cdot 4 t + 6 \cdot 6 t + 3 \cdot 3 t = 12$ , dus $t = \frac{12}{61}$ en $P = (\frac{48}{61}, \frac{72}{61}, \frac{36}{61})$ .

4

a

De inhoud van piramide $O S R H$ is $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 6 = 9$ , dus de gevraagde inhoud is $6^{4} - 4 \cdot 9 = 180$ .

b

De doorsnede is vijfhoek $A B T R U$ , waarbij $T$ het snijpunt van de lijnen $B G$ en $C Q$ is en $U$ het snijpunt van de lijnen $O S$ en $A H$ is en

c

De driehoeken $T B C$ en $T G Q$ zijn gelijkvormig; de vergrotingsfactor is $2$ , dus $B T = \frac{2}{3} \cdot 6 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ .
De oppervlakte van rechthoek $A B T U = 4 \sqrt{2} \cdot 6 = 24 \sqrt{2}$ ; de oppervlakte van driehoek $R T U = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 6 = 6 \sqrt{2}$ , De oppervlakte van de doorsnede is $24 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} = 30 \sqrt{2}$ .

d

Het vlak snijdt de $x$ -as in $(12,0,0)$ , de $y$ -as in $(0,12,0)$ .

Een vergelijking is dus $\frac{x}{12} + \frac{y}{12} + \frac{z}{c} = 1$ voor een of ander getal $c$ . Het punt $(6,3,6)$ voldoet, dus $c = 24$ . Een vergelijking is dus: $2 x + 2 y + z = 24$ .

e

Noem die hoek α, dan is α ook de hoek tussen de normaalvectoren $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ . We berekenen $\cos (α)$ met het inproduct. Je vindt: $\cos (α) = \frac{2}{3}$ , dus $α = 48 °$ .

f

Het middelpunt $M$ van de bol ligt op de lijn door de middens van het boven- en het grondvlak van de kubus. Zeg op hoogte $x$ .
De cirkel door de vier hoekpunten in het bovenvlak heeft straal $3$ , die door hoekpunten van het grondvalk heeft straal $3 \sqrt{2}$ .
Noem de straal van de bol $R$ , dan geldt: ${(6 - x)}^{2} + 3^{2} = R^{2}$ en $x^{2} + {(3 \sqrt{2})}^{2} = R^{2}$ , dus $x = 2 \frac{1}{4}$ , dus het middelpunt $M$ is $(3,3,2 \frac{1}{4})$ .

g

De achthoek op hoogte $h$ bestaat uit een vierkant van $6$ bij $6$ waaruit bij de hoekpunten rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden $\frac{1}{2} h$ zijn weggelaten. De oppervlakte van de achthoek is dus $36 - \frac{1}{2} h^{2}$ , dus $h = 4 \sqrt{3}$ .

5

Kies een assenstelsel zó, dat de drie ribben op de assen liggen. Het hoogste punt is dan de oorsprong $O$ . En vergelijking van het maaiveld is: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1$ oftewel: $20 x + 15 y + 12 z - 60 = 0$ . De afstand van $O$ tot het maaiveld is dan $\frac{| 20 \cdot 0 + 15 \cdot 0 + 12 \cdot 0 - 60 |}{\sqrt{20^{2} + 15^{2} + 12^{2}}} = \frac{60}{\sqrt{769}}$ .

6

a

Dat is de hoek tussen de vlakken $\frac{x}{1} + \frac{z}{\sqrt{3}} = 1$ en $\frac{y}{1} + \frac{z}{\sqrt{3}} = 1$ , dus de hoek α van de vectoren $(\begin{matrix} \sqrt{3} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix})$ .
Dus $\cos (α) = \frac{\sqrt{3} \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ , dus $α = 76 °$ .

b

Noem de hellingshoek β, dan zijn normaalvectoren van de dakvlakken $(\begin{matrix} \tan (β) \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ \tan (β) \\ 1 \end{matrix})$ , dus $\frac{1}{\tan^{2} (β) + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos^{2} (β) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , dus $β = 33 °$ .

7

a

De coördinaten van het snijpunt van de lijnen $O A$ en $B C$ zijn $(‐ 12,0,0)$ (met gelijkvormigheid). Een tweede punt van de snijlijn is $T$ , dus de snijlijn heeft pv: $(x, y, z) = (‐ 12 + 6 t,0,5 t)$ .

b

$P$ is het snijpunt van lijn $B T$ met het vlak $O$ door loodrecht op lijn $B T$ . Een vergelijking van $V$ is: $3 x + 3 y - 5 z = 0$ .
Een pv van lijn $B T$ is: $(x, y, z) = (0,0,10) + t (3,3, ‐ 5)$ . Je krijgt $P$ voor de waarde van $t$ waarvoor $3 \cdot 3 t + 3 \cdot 3 t - 5 \cdot (10 - 5 t) = 0$ , dus voor $t = \frac{50}{43}$ . Je vindt: $P = (\frac{150}{43}, \frac{150}{43}, \frac{180}{43})$ .

c

$Q$ is het snijpunt van lijn $B T$ met het vlak $V$ door $O$ loodrecht op lijn $B C$ . Een vergelijking van $V$ is: $3 x - y = 0$ .
Een pv van lijn $B C$ is: $(x, y, z) = (0,4,0) + t (3, ‐ 1,0)$ . Je krijgt $Q$ voor de waarde van $t$ waarvoor $3 \cdot 3 t - (4 - t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5}$ , dus $Q = (1 \frac{1}{5},3 \frac{3}{5},0)$ .

8

a

Dat is een stompe hoek. Normaalvectoren van de vlakken $A B D$ en $B C D$ zijn $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$ . Noem de hoek α, dan $\cos (α) = \frac{9}{25}$ en $α = 69 °$ , dus de gevraagde hoek is $111 °$ .

b

Druk de vlakken $A B D$ en $B C D$ 'plat'. De kortste weg is lijnstuk $A C$ in de platte figuur. $M$ is het snijpunt van de lijnstukken $A C$ en $B D$ . Er geldt: $M A \cdot B D = A D \cdot A B$ (beide tweemaal de oppervlakte van driehoek $A B D$ ,
dus $M A = \frac{15}{34} \sqrt{34}$ en $A C = \frac{15}{17} \sqrt{34}$ .

c

$A M$ staat loodrecht op $B D$ . Dus $M$ is het snijpunt van het vlak $V$ loodrecht op $B D$ met lijn $B D$ .
Een pv van lijn $B D$ is $(x, y, z) = (0,0,4) + t (3,3, ‐ 4)$ , een vergelijking van $V$ is: $3 x + 3 y - 4 z = 9$ .
Het snijpunt krijg je voor $t = \frac{25}{34}$ , dus dit is: $(\frac{75}{34}, \frac{75}{34}, \frac{36}{34})$ .

d

Zie figuur. De kortste weg is lijnstuk $A E$ , waarbij $A E$ loodrecht op $D C$ staat.
Hoek $A D B$ noemen we γ. Dan $\cos (γ) = \frac{5}{\sqrt{34}}$ en dus $\sin (γ) = \frac{3}{\sqrt{34}}$ , dus $\sin (2 γ) = 2 \cdot \sin (γ) \cdot \cos (γ) = \frac{15}{17}$ en $A E = A D \cdot \sin (2 γ) = \frac{75}{17}$ .

e

De gevraagde hoek is hoek $A M C$ , waarbij de punten $A$ , $M$ en $C$ in de 'ruimte' liggen. De zijden van driehoek $A M C$ zijn $\frac{15}{\sqrt{34}}$ , $\frac{15}{\sqrt{34}}$ en $3 \sqrt{2}$ . De gevraagde hoek is: $2 \cdot \sin^{- 1} (\frac{1 \frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{15}{\sqrt{34}}}) \approx 111 °$ .