1

Een trap waarvan de aantrede twee keer zo groot is als de optrede, maakt (van bovenaf gezien) een hoek van $90 °$ . De leuning loopt even steil als de trap.

Bereken de hoek tussen de twee leuningen in graden nauwkeurig.

(hint)

Je kunt de situatie vertalen naar kubus A

A B C D . E F G H

:

M

is het midden van

D H

, het eerste stuk van de leuning is

A M

....
Of gebruik vectoren.

2

In de figuur hieronder zijn $O S R U$ en $O T Q U$ rechthoeken. Verder is $P (6,4,0)$ , $Q (0,4,3)$ en $R (6,0,3)$ .

In $L (0,0,5)$ bevindt zich een lichtbron. Die werpt een schaduw van driehoek $P Q R$ op het $O x y$ -vlak.

a

Teken die schaduw op het werkblad. Licht je werkwijze toe.

b

Bereken de oppervlakte van de schaduw.

De lichtbron wordt langs de $z$ -as verplaatst zó, dat de schaduw van driehoek $P Q R$ op het $O x y$ -vlak een lijnstuk wordt.

c

Teken op het werkblad de nieuwe plaats van de lichtbron.

d

Bereken $\vec{P Q} \times \vec{P R}$ .

e

Bereken de oppervlakte van driehoek $P Q R$ exact.

f

Bereken de coördinaten van het gevraagde punt uit onderdeel c.

3

In de figuur is een recht blok $A B C O . E F G H$ getekend met $A (3,0,0)$ , $C (0,2,0)$ en $H (0,0,4)$ .
Het uitproduct $\vec{A H} \times \vec{C H}$ noemen we $\vec{u}$ .

a

Bereken $\vec{u}$ .

a

Hoe kun je $\vec{u}$ gebruiken om de oppervlakte van driehoek $A C H$ uit te rekenen?
Doe dat.

c

Hoe kun je $\vec{u}$ gebruiken om de hoek tussen lijn $E C$ en vlak $A F H$ te berekenen?
Doe dat in graden nauwkeurig.

De projectie van $O$ op vlak $A C H$ noemen we $P$ .

d

Bereken de coördinaten van $P$ .

4

$A B C O . E F G H$ is een kubus met $A (6,0,0)$ , $C (0,6,0)$ en $H (0,0,6)$ . $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ zijn middens van ribben, zie figuur.
Het lichaam $A B C O . P Q R S$ noemen we $L$ .

a

Bereken de inhoud van $L$ .

(hint)

De inhoud van een piramide met oppervlakte van het grondvlak

G

en bijbehorende hoogte

h

is

\frac{1}{3} \cdot G \cdot h

.

b

Teken de doorsnede van $L$ met diagonaalvlak $A B G H$ van de kubus.

c

Bereken de oppervlakte van die doorsnede exact.

d

Geef een vergelijking van vlak $B P Q$ .

e

Bereken de hoek tussen de vlakken $A B P$ en $B P Q$ in graden nauwkeurig.

Er gaat een bol door de acht hoekpunten van $L$ .

f

Bereken de coördinaten van het middelpunt van die bol exact.

De doorsnede met een vlak evenwijdig met het grondvlak van de kubus is een achthoek.

g

Bereken de exacte hoogte waarop de achthoek oppervlakte $12$ heeft.

5

Op Het Taskerplein in Nijmegen zijn enkele rechthoekige metalen blokken ingegraven. We vragen ons af hoever ze boven het maaiveld uitsteken.
Een kubus is in de grond gegraven. Er steken nog drie ribben boven het maaiveld uit, zie de figuur hieronder rechts. Ze hebben lengte $3$ , $4$ en $5$ .

Bereken exact hoe ver de top boven het maaiveld uitsteekt.

6

In opgave 41 hebben we de hoek van twee dakvlakken, waarvan de nokken loodrecht op elkaar staan bekeken.
De dakhellingen waren daar $45 °$ .

a

Bereken die hoek ook (in graden nauwkeurig) als de dakhellingen $60 °$ zijn.

b

Hoe groot is de hellingshoek van de dakvlakken (in graden nauwkeurig) als de hoek tussen de dakvlakken $45 °$ is?

7

$A B C O . T$ is een piramide met $A (6,0,0)$ , $B (6,6,0)$ , $C (0,4,0)$ , en $T (0,0,10)$ .

a

Geef een pv van de snijlijn van de vlakken $O A T$ en $B C T$

(hint)

Bepaal het punt van de snijlijn dat in het grondvlak ligt.

Op lijn $T B$ ligt een punt $P$ zó, dat lijn $O P$ loodrecht op lijn $B T$ staat.

b

Bereken de coördinaten van $P$ .

Een druppel glijdt vanuit $T$ over vlak $T B C$ over de kortste weg naar beneden.

c

Bereken de coördinaten van het punt waar hij op ribbe $B C$ komt.

8

$A B C O . T$ is een vierzijdige piramide met vierkant grondvlak en $A (3,0,0)$ , $C (0,3,0)$ en $D (0,0,4)$ .

a

Bereken de hoek tussen de opstaande zijvlakken (driehoeken) $A B D$ en $B C D$ in graden nauwkeurig met behulp van normaalvectoren.

Een mier loopt over de grensvlakken $A B D$ en $B C D$ over de kortste weg van $A$ naar $C$ .

b

Bereken de exacte lengte van de weg.

c

Bereken de coördinaten van het punt waar de mier ribbe $B D$ passeert.

Een andere mier neemt de kortste weg over de twee grensvlakken van $A$ naar ribbe $D C$ .

d

Bereken de exacte lengte van die weg.

e

Bereken de hoek uit vraag a ook zonder vectoren.