8.5 Normaal toetsen >

Hoofdstukken > Hypothesetoetsen

In Nederland worden jaarlijks ongeveer $185.000$ kinderen geboren. Het aantal jongetjes daaronder is $94.900$ , met een standaarafwijking (SD) van $215$ . Op grond hiervan is gesteld dat de kans op een jongetje $0,513$ is.

Reken de kans $0,513$ na.

Het aantal jaarlijkse geboortes schommelt wel een beetje, maar dat heeft nauwelijks invloed op de SD.
In 2010 werden $183.866$ kinderen geboren.

Bij welke aantallen jongetjes zal de gestelde kans van $0,513$ op een jongetje moeten worden aangepast, bij een significantieniveau van $5$ %?

Het aantal jongetjes onder de $183.866$ geboortes lijkt normaal verdeeld te zijn, maar in feite is het binomiaal verdeeld.

Controleer daarmee de gegeven SD van $215$ .

Een toetsingsgrootheid $X$ is normaal verdeeld met $σ = 4,6$ en onbekende $μ$ .
Er zijn twee hypotheses: H₀ : $μ = 83,4$ en H₁ : $μ \neq 83,4$ .

Wat is het kritieke gebied bij $α = 0,05$ ?

Wordt de hypothese H₁ geaccepteerd bij het steekproefresultaat $X = 92,7$ ?

Vaak is het probleem bij toetsen met een normaal verdeelde grootheid dat de standaardafwijking eerst moet worden berekend. Dat gebeurt met de wortel $n$ -wet.
Het volgende staat in hoofdstuk 10, De normale verdeling.

Als $X_{1}$ , $X_{2}$ , ..., $X_{n}$ onafhankelijk zijn, allemaal met standaardafwijking $σ$ dan heeft

de som $S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ standaardafwijking $\sqrt{n} \cdot σ$ ,
het gemiddelde $G = \frac{1}{n} (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n})$ standaardafwijking $\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot σ$ .

Zakken met $2,5$ kg aardappelen bevatten natuurlijk zelden precies $2500$ gram. Ontevreden klanten beweren dat er vaak te weinig in zit. Een leverancier beweert dat in zijn zakken $2500$ gram aardappelen zit met een standaardafwijking van $80$ gram.
Een consumentenvereniging doet een onderzoek. In verschillende winkels worden in totaal $40$ van die zakken gekocht.
De totale inhoud $T$ van die zakken wordt gewogen ( $T$ in grammen).
We mogen wel aannemen dat $T$ normaal verdeeld is.

Als de leverancier het bij het rechte eind heeft, wat is dan het te verwachten totale gewicht?

Heb je hier te maken met een éénzijdige of met een tweezijdige toets? Waarom?

Welke twee hypothesen staan tegenover elkaar?

Hoe groot is, als H₀ juist is, $σ (T)$ ?

Bepaal het kritieke gebied bij significantieniveau $5$ %.

De totale inhoud van de $40$ zakken bleek $99,1$ kg te zijn.

Worden de ontevreden klanten in het gelijk gesteld bij een significantieniveau van $5$ %?

Een supermarkt zegt dat de gemiddelde wachttijd voor haar kassa’s niet meer dan $2$ minuten bedraagt. Laten we eens aannemen dat de wachttijd normaal verdeeld is met een gemiddelde van $2$ minuten en een standaardafwijking van $0,5$ minuten. De laatste vier keer heb ik bijgehouden hoe lang ik moest wachten: $3$ , $4$ , $3$ en $2$ minuten. Ik beweer dat de supermarkt een oneerlijk beeld schetst van de werkelijkheid.

Krijg ik gelijk bij een significantieniveau van $5$ %?

(hint)

Bekijk de totale wachttijd.

Het bedrag dat in een week bij de kassa's van een supermarkt binnenkomt, is in zes van de tien weken meer dan € $40.000$ .
Neem aan dat de wekelijkse omzet $X$ normaal verdeeld is met standaardafwijking € $6515$ .

Bereken $E (X)$ .

Er is nog een filiaal van de supermarkt. De bedrijfsleider hiervan beweert dat zijn omzet € $45.000$ per week is met een standaardafwijking van € $5.000$ . De standaardafwijking van de omzet van de twee vestigingen samen kun je uitrekenen via de varianties van hun omzetten, dankzij de formule
$Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)$ , mits $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn.

Bereken die standaardafwijking.

Een accountant constateert dat in de afgelopen vier weken de totale omzet van de twee winkels € $368.743,36$ was.

Is er, bij een significantieniveau van $5$ %, voldoende reden om de bewering van de bedrijfsleider van het filiaal te verwerpen?

Het IQ van een Nederlander is normaal verdeeld met een gemiddelde van $100$ en een standaardafwijking van $15$ . Het vermoeden bestaat dat profvoetballers bovengemiddeld slim zijn. Om dat te onderzoeken nemen we een steekproef van $25$ profvoetballers en onderwerpen ze aan een IQ-test. Het gemiddelde IQ in deze steekproef noemen we $μ$ .

Definieer een toetsingsgrootheid $G$ en formuleer de H₀- en de H₁-hypothese.

Om de toets uit te kunnen voeren moeten we de standaardafwijking kennen van het gemiddelde IQ van $25$ mensen.

Wat is de standaardafwijking van $G$ ?

Bij welke waarden van $μ$ mag ik concluderen dat profvoetballers inderdaad bovengemiddeld slim zijn, bij $α = 0,05$ ?

In een bedrijf is het aantal uur dat dagelijks wordt overgewerkt normaal verdeeld met gemiddeld $9,1$ uur en standaardafwijking $2,1$ uur. Er wordt een nieuw systeem van flexibele werktijden ingevoerd. In een periode van $25$ werkdagen bleek de gemiddelde dagelijkse overwerktijd $8,4$ uur per dag te zijn. Neem aan dat de standaardafwijking onveranderd $2,1$ uur is.

Onderzoek of bij een significantieniveau van $5$ % geconcludeerd kan worden dat het nieuwe systeem invloed heeft op de overwerktijd.

In elektronische apparatuur worden veel chips gebruikt. Neem aan dat de levensduur van chips van type A normaal verdeeld is met verwachtingswaarde $μ = 8,0$ jaar en standaardafwijking $2,0$ jaar.

Een klant koopt $500$ chips van type A.

Hoeveel van deze chips zullen naar verwachting binnen $5$ jaar stukgaan?

Van de chips van type B vermoedt men dat $μ$ kleiner is dan $8,0$ jaar. Een laboratorium test daarom $50$ chips van type B. Van deze bleken er na vijf jaar $7$ stuk te zijn. Neem aan dat ook van deze chips de standaardafwijking van de levensduur $2,0$ jaar is.

Geeft deze uitkomst voldoende aanleiding om bij een significantieniveau van $1$ % de aanname dat $μ = 8,0$ jaar te verwerpen?