8.6 Van binomiaal naar normaal >

Hoofdstukken > Hypothesetoetsen

De standaardnormale kromme is verwant aan de grafiek van de functie $y = e^{‐ x^{2}}$ . Het is verrassend dat de e-macht ineens opduikt in de kansrekening. Wat heeft de functie $y = e^{x}$ te maken met de binomiaalcoëfficienten $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ ?
We leggen het verband tussen die twee aan de hand van het Galtonbord met $10$ rijen pinnen (maar dat is niet gemakkelijk).

We nummeren de bakjes; het middelste krijgt nummer $0$ . De breedte van de bakjes noemen we $a$ . Elke keer als een balletje een pin raakt, springt het $\frac{1}{2} a$ naar rechts of $\frac{1}{2} a$ naar links.

Als een balletje $k$ keer naar rechts gaat en dus $10 - k$ keer naar links, komt het in bakje $k - 5$ ; de kans daarop is: $(\begin{matrix} 10 \\ k \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{10}$ .
Als een balletje $k + 1$ keer naar rechts gaat en dus $9 - k$ keer naar links, komt het in bakje $k - 4$ ; de kans daarop is $(\begin{matrix} 10 \\ k + 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{10}$ .
De grens tussen de twee bakjes ligt bij $x = (k - 4 \frac{1}{2}) a$ . Daar is de $y$ -waarde van de kanspolygoon het gemiddelde van de kansen op $k$ en $k + 1$ successen, dus $\frac{1}{2} ((\begin{matrix} 10 \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} 10 \\ k + 1 \end{matrix})) \cdot {(\frac{1}{2})}^{10}$ .

Ga na dat $(\begin{matrix} 10 \\ k + 1 \end{matrix}) = \frac{10 - k}{k + 1} (\begin{matrix} 10 \\ k \end{matrix})$ .

Laat zien dat bijgevolg de $y$ -waarde bij $x = (k - 4 \frac{1}{2}) a$ gelijk is aan $\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{k + 1} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ k \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{10}$ .

Laat zien dat de richtingscoëfficiënt van het lijnstukje van de kanspolygoon is: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{1}{a} \cdot \frac{9 - 2 k}{k + 1} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ k \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{10}$ .

Ga na dat geldt: $\frac{Δ y}{Δ x} = ‐ \frac{4}{11 a^{2}} \cdot x \cdot y$ .

Bij een Galtonbord met $n$ rijen vinden we: $\frac{Δ y}{Δ x} = ‐ \frac{4}{(n + 1) a^{2}} \cdot x \cdot y$ .
Bekijk nu de verdelingen voor $n = 10$ , $n = 20$ , $n = 40$ en $n = 80$ . Ze worden steeds breder en lager.

Om de normale verdeling geheel in beeld te krijgen, moeten we de bakjes bij toenemende $n$ steeds smaller maken.
We kiezen $a = \frac{2}{\sqrt{n + 1}}$ .
De betrekking tussen de richtingscoëfficiënt $\frac{Δ y}{Δ x}$ en en de coördinaten van het punt $(x, y)$ wordt dan: $\frac{Δ y}{Δ x} = ‐ x \cdot y$ .

Voor grote waarden van $n$ kunnen we dit redelijk vervangen door: $\frac{d y}{d x} = ‐ x \cdot y$ .
Dus $y$ is oplossing van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = ‐ x \cdot y$ .
De 'algemene oplossing' van deze differentiaalvergelijking kun je vinden door de variabelen te scheiden (zie de paragraaf Rekentechniek van het hoofdstuk Continue dynamische modellen:

$\frac{d y}{d x}$	$=$	$‐ x \cdot y$	variabelen scheiden
$‐ x d x$	$=$	$\frac{1}{y} d y$	primitiveren
$\int ‐ x d x$	$=$	$\int \frac{1}{y} d y$

De oplossingen zijn de functies $y$ met $‐ \frac{1}{2} x^{2} + a = \ln | y |$ , waarbij $a$ een constante is.
Er geldt: $‐ \frac{1}{2} x^{2} + a = \ln | y | \Leftrightarrow | y | = e^{a} \cdot e^{‐ \frac{1}{2} x^{2}}$ . De oppervlakte onder de grafiek van de gezochte oplossingsfunctie moet $1$ zijn.
Wij kunnen de oppervlakte onder de grafiek van de functie
$y = e^{‐ \frac{1}{2} x^{2}}$ alleen maar numeriek benaderen. Een exacte oplossing vinden is in dit kader niet mogelijk. Uiteindelijk blijkt:
$y = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot e^{‐ \frac{1}{2} x^{2}}$ .

Abraham de Moivre
1667 - 1754

Omstreeks 1720 ontdekte De Moivre de normale kromme als limietvorm voor de verdeling van het aantal keren kop bij een groot aantal worpen met een munt. Zijn wiskundige afleiding werd in die tijd niet opgemerkt.