1

Hieronder staan de grafieken van twee sinusoïden.

Geef bij beide grafieken een formule in de vorm
$y = a + b \sin (c (x - d))$ . Licht je formule toe.

2

Op de foto zie je een zwembad met sporthal, samen onder één golvend dak. Het golvende dak bereikt boven het zwembad dezelfde hoogte als boven de sporthal. In de figuur hieronder is een schematisch vooraanzicht getekend. In dit vooraanzicht heeft de rand van het dak de vorm van een sinusoïde met als formule $h = 3 \sin (0,1 \cdot x) + 7$ .
De hoogte $h$ en de lengte $x$ zijn allebei in meter. De lengte $h$ wordt van links naar rechts over de grond gemeten langs de voorkant van het gebouw, vanaf een punt $0$ dat links van de linkerkant van de voorgevel van het gebouw ligt. Aan beide uiteinden van het gebouw is het dak $8$ meter hoog.

a

Bereken de minimale en de maximale hoogte van het dak.

b

Bereken de totale lengte van het gebouw in gehele meters nauwkeurig.

3

Gegeven is de functie $y = 0,4 \sin (\frac{1}{3} π (x + 1)) + 0,8$

a

Wat is de maximale en de minimale waarde van $y$ ?

b

Bereken exact voor welke waarden van $x$ tussen $‐ 20$ en $20$ $y$ minimaal is.

Als $x = 11 \frac{1}{2}$ , dan $y = 1$ exact. Als $x$ dan toeneemt, wordt $y$ eerste groter en dan weer kleiner.

c

Wanneer voor het eerst is $y$ weer $1$ ?

4

Hieronder staat de grafiek van een sinusoïde.

a

Geef (met toelichting) een formule bij de grafiek.

Deze sinusoïde wordt eerst met $2$ eenheden naar boven geschoven en daarna vermenigvuldigd met een factor $2$ ten opzichte van de $x$ -as.

b

Teken de nieuwe grafiek in het rooster op het werkblad.

c

Geef een formule voor de nieuwe sinusoïde.

d

Geef ook een formule voor de grafiek die je krijgt door de volgorde om te draaien, dus eerst ten opzichte van de $x$ -as te vermenigvuldigen en daarna omhoog te schuiven.

5

Bezonning
Bij het ontwerpen van gebouwen besteedt men aandacht aan de mogelijke bezonning. Daarbij gaat men uit van een altijd wolkenloze hemel. In deze opgave beperken we ons tot gebouwen met rechte verticale gevels die niet in de schaduw van andere gebouwen staan. Verder gaan we uit van een jaar met $365$ dagen. In de tabel hieronder is af te lezen hoeveel dagen elke kalendermaand telt.

maand	aantal dagen	maand	aantal dagen	maand	aantal dagen
januari	$31$	mei	$31$	september	$30$
februari	$28$	juni	$30$	oktober	$31$
maart	$31$	juli	$31$	november	$30$
april	$30$	augustus	$31$	december	$31$

Er geldt: $B = 12,3 + 4,6 \cdot \sin (0,0172 (n - 80))$ , waarbij $B$ het aantal uren zonneschijn bij een altijd wolkenloze hemel is en $n$ nummer van de dag. Hierbij is komt $n = 1$ overeen met 1 januari.

Op 30 januari komt de zon op om 8:27u.

a

Bereken met behulp van de formule het tijdstip waarop de zon op 30 januari onder gaat in minuten nauwkeurig.

b

Toon door berekening aan dat 13 april de eerste dag van het jaar is dat de zon langer dan $14$ uur schijnt.

Er is een groot verschil tussen het maximale en het minimale dagelijkse aantal uren zonneschijn.

c

Bereken aan de hand van de formule voor $B$ dit verschil in minuten nauwkeurig.

6

Hiernaast is de dwarsdoorsnede van een sinusvormige goot getekend. Voor de afmetingen (in cm), zie figuur. De randen op hoogte $10$ hebben een horizontale raaklijn.

a

Geef een formule voor de hoogte $h$ als functie van de breedte $b$ .

De waterspiegel is $8$ cm breed.

b

Bereken langs algebraïsche weg hoe hoog het water staat in mm nauwkeurig.

7

Nikolai Kondratieff
1892 - 1938

Economische cycli
Golfbewegingen volgens Kondratieff en Barker
In de economie komen vaak golfbewegingen voor: het gaat afwisselend beter en slechter met de economie. Economen proberen deze golfbewegingen te analyseren, onder andere om een volgende economische crisis te kunnen voorspellen. In november 2010 stond hierover een artikel in dagblad Trouw. In de figuur hieronder en op het werkblad, gebaseerd op dit artikel, zijn twee verschillende golfbewegingen te zien.

De Russische econoom Kondratieff presenteerde rond 1920 de theorie dat er in de (kapitalistische) wereldeconomie golven of cycli voorkomen met een periode tussen de $50$ en $60$ jaar: na grote technische vernieuwingen leeft de economie steeds op, om een aantal jaren later weer in een crisis of slechte tijd te belanden.
In de figuur is onder andere de golfbeweging volgens Kondratieff getekend tot 1920. Als je deze golfbeweging met dezelfde vaste periode ook na 1920 voortzet, wordt de crisis van 2009 hiermee niet goed voorspeld.

a

Laat met een redenering gebaseerd op de figuur zien dat 2009 volgens Kondratieff niet in een periode van economische neergang zit.

De Amerikaanse beursanalist Barker gaat uit van een iets andere golfbeweging. Ook de golfbeweging volgens Barker is in de figuur hierboven getekend. Vanaf het dieptepunt in 1949 heeft de golfbeweging volgens Barker een periode die constant is.
In de figuur is te zien dat de golfbewegingen volgens Kondratieff en Barker steeds meer van elkaar gaan verschillen. In bepaalde perioden laten de beide grafieken zelfs een tegengestelde beweging van de economie zien: de grafiek volgens Barker stijgt, terwijl die van Kondratieff daalt of andersom.

b

Onderzoek met behulp van de figuur op het werkblad in welke perioden tussen 1950 en 2050 de grafieken van Kondratieff en Barker een tegengestelde beweging van de economie laten zien.

De golfbeweging volgens Barker kan vanaf het dieptepunt in 1949 benaderd worden met de formule:
$B = \sin (\frac{2 π}{63} (t - 1965))$ met $t$ het jaartal.
Omdat we hier alleen het stijgen en dalen van de golfbeweging bekijken, doet het er niet toe welke evenwichtsstand en welke amplitude we kiezen. In deze formule is gekozen voor evenwichtsstand 0 en amplitude 1.
Voor de golfbeweging volgens Kondratieff kan een soortgelijke formule opgesteld worden.

c

Stel een formule voor de golfbeweging volgens Kondratieff op.

Golfbeweging volgens Smihula

In de figuur hierboven is een derde grafiek getekend: de Slowaakse onderzoeker Smihula ging ook uit van golfbewegingen in de economie, maar volgens hem wordt de periode van deze golven steeds korter. Volgens Smihula begint en eindigt een golf bij een dieptepunt. In de figuur hieronder zie je de golf volgens Smihula tussen 1940 en 1985. De periode van deze golf is verdeeld in vier gelijke delen: deze delen worden respectievelijk lente, zomer, herfst en winter genoemd.

De volgende golf volgens Smihula loopt van 1985 tot 2015. De periode van deze golf is tweederde van de periode van de vorige golf. Neem aan dat dit zich na 2015 zo voortzet, dus dat elke nieuwe golf een periode heeft die tweederde is van de vorige.

d

Bereken in welk “seizoen” (lente, zomer, herfst, winter) het jaar 2040 volgens Smihula zal vallen.

Als elke nieuwe golf een periode heeft die tweederde is van de vorige, worden de perioden op den duur erg kort. Het is de vraag of dit realistisch is.

e

Bereken in welk jaar er volgens deze regelmaat voor het eerst een periode begint die korter is dan één jaar.

8

Op de zon komen plaatsen voor met een lagere temperatuur dan de omgeving: de zogenaamde zonnevlekken. Het aantal zonnevlekken is niet altijd hetzelfde. Sinds ongeveer 1700 wordt het aantal zonneviekken met grote regelmaat geteld. De globale grafiek van het aantal zonnevlekken ziet er als volgt uit:

De geleerden zijn het erover eens dat in het voorkomen van zonnevlekken een periodiek verschijnsel is waar te nemen. De hier getekende grafiek vertoont $20$ perioden.

a

Hoe kun je uit deze grafiek afleiden dat de gemiddelde periode $11$ jaar is?

b

In welk jaar na 2016 verwacht je voor het eerst weer dat het aantal zonnevlekken een maximum bereikt?

Sommige onderzoekers wijzen ook op het feit dat de cyclussen $1$ , $2$ , $3$ en $4$ grote overeenkomst vertonen met $17$ , $18$ $19$ en $20$ . Men vindt hierin een aanwijzing voor een tweede periode.

c

Hoeveel jaar duurt deze tweede periode?

d

Hoe groot verwacht je dat het maximum aantal zonnevlekken van vraag b zal zijn?

Men vermoedt al jaren dat de zonnevlekken invloed hebben op het weer op aarde. Zo laat de regenval in Fortaleza (Brazilië) zich beschrijven door het volgende wiskundige model: $R = 140 + 35 \cdot \sin (\frac{π}{11} t)$ , waarbij $R$ het aantal cm regen in jaar $t$ is, gerekend vanaf 1905, $t = 0$ valt dus samen met het jaar 1905.

e

Wat is de periode van $R$ als functie van $t$ ??

f

Bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel cm regen de inwoners van Fortaleza kunnen verwachten in het jaar 2020.

g

Welk jaar tussen 2015 en 2026 is het natst? Hoeveel cm neerslag valt er in dat jaar?

9

Een reuzenrad draait rond. We volgen een punt $P$ op de omtrek van het rad vanaf een bepaald moment $t = 0$ . De hoogte van $P$ na $t$ minuten is $h (t)$ meter.
Er geldt: $h (t) = 7 - 6 \cdot \sin (\frac{π}{6} t + \frac{1}{2} π)$ .

a

Bepaal algebraïsch de eerste drie tijdstippen na $0$ waarop het punt $P$ op maximale hoogte is.

Een ander punt $Q$ op de omtrek van het rad is op tijdstip $t = 3$ op het hoogste punt. De hoogte van $Q$ op tijdstip $t$ is $k (t)$ .

b

Geef een formule voor $k (t)$ .

c

Geef langs algebraïsche weg de eerste vijf tijdstippen na $0$ waarop $P$ en $Q$ op dezelfde hoogte zijn.

(hint)

Schets beide grafieken en gebruik symmetrie.