4.4 Stand van zaken >

Hoofdstukken > Hoeken en bogen

In deze paragraaf wordt je gevraagd wat je weet van de zijden, hoeken en diagonalen van verschillende soorten vierhoeken. En omgekeerd, wat voor speciaal type vierhoek het is als je iets gegeven hebt over de zijden, hoeken of diagonalen. Enkele van deze zaken heb je al bewezen. Nu kun je volstaan met de antwoorden en mag je de bewijzen achterwege laten.
Er zijn veel en gevarieerde opgaven om het redeneren te oefenen en om routine op te doen. Het is wellicht niet nodig alle opgaven te maken. Er zijn vaak verschillende voor de hand liggende oplossingen.

Voorbeeld:

Vraag
Wat weet je van de zijden van een parallellogram?
Antwoord
De overstaande zijden zijn evenwijdig en even lang.

Wat weet je van de hoeken van een parallellogram?
Wat weet je van de diagonalen van een parallellogram?

Wat weet je van de zijden van een ruit?
Wat weet je van de diagonalen van een ruit?

Wat weet je van de hoeken van een rechthoek?
Wat weet je van de diagonalen van een rechthoek?

Voorbeeld:

Gegeven
Van een vierhoek zijn de overstaande zijden even lang.
Vraag
Wat voor soort vierhoek is dat?
Antwoord
Het is een parallellogram.

Van een vierhoek is gegeven dat de overstaande hoeken even groot zijn.

Wat voor soort vierhoek is dat?

Van een vierhoek is gegeven dat de vier hoeken recht zijn.

Wat voor soort vierhoek is dat?

Van een parallellogram is gegeven dat het een rechte hoek heeft.

Wat voor soort vierhoek is dat?

Van een ruit is gegeven dat hij een rechte hoek heeft.

Wat voor soort vierhoek is dat?

Van een vierhoek is gegeven dat de diagonalen even lang zijn.

Kun je hieruit concluderen dat de vierhoek een rechthoek is?

Van een parallellogram is gegeven dat de diagonalen even lang zijn.

Kun je hieruit concluderen dat de vierhoek een rechthoek is?

Van een vierhoek is gegeven dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan.

Kun je hieruit concluderen dat de vierhoek een ruit is?

Van een parallellogram is gegeven dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan.

Kun je hieruit concluderen dat de vierhoek een ruit is?

Hieronder, in de blauwe vakken, staan onze uitgangspunten en de resultaten die we daaruit bewezen hebben bij elkaar. Deze mag je zonder verdere toelichting opnemen in redeneringen en bewijzen. Wel moet je dan de naam van de gebruikte stelling vermelden; die staat cursief achter de stelling.
Het is handig de stellingen paraat te hebben.

Lees daarom de zaken aandachtig door en leer wat je niet zo bekend (meer) was.
Maak zo mogelijk plaatjes bij de stellingen.

Verderop staan een serie oefenopgaven (vanaf opgave 55). Ga bij voldoende van deze opgaven als volgt te werk.

Maak een tekening. Zet daarin zo veel mogelijk gegevens; gebruik tekens om gelijke zijden en pijltjes om evenwijdigheid aan te geven.
Als je zelf punten of lijnen toevoegt, vermeld dat dan.
Schrijf het Gegeven op.
Schrijf het Te bewijzen op.
Lever een bewijs op grond van Vlakke meetkunde Uitgangspunten, definities en stellingen in het volgende overzicht.

Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.
Dit trapezium heet gelijkbenig als de andere twee zijden even lang en niet evenwijdig zijn, zie plaatje.

Beredeneer dat de diagonalen van een gelijkbenig trapezium even lang zijn.

Bewijs dat de buitenbissectrices van een rechthoek een vierkant insluiten.

Als in een vierhoek de diagonalen bissectrices zijn van de hoeken, dan is die vierhoek een ruit.

Bewijs dit.

In een vierhoek zijn twee zijden evenwijdig en de andere twee zijden zijn even lang.

Bewuhs dat de vierhoek een parallellogram of een gelijkbenig trapezium is.

Twee cirkels met middelpunten $M$ en $N$ snijden elkaar in $P$ en $Q$ .
Er geldt: $∠ P M Q = ∠ P N Q$ .

Bewijs dat de cirkels gelijke straal hebben.

In een gelijkbenige driehoek liggen het zwaartepunt, het middelpunt van de ingeschreven cirkel en het middelpunt van de omgeschreven cirkel op de hoogtelijn uit de top.

Bewijs dit.

$H$ is het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek $A B C$ .

Waar ligt het hoogtepunt van driehoek $A B H$ ?

Een vierhoek zonder inspringende hoeken wordt door zijn diagonalen verdeeld in vier driehoeken.

Bewijs dat de hoogtepunten van deze driehoeken de hoekpunten zijn van een parallellogram.

Driehoek $A B C$ is gelijkzijdig. $D$ ligt op zijde $B C$ en $E$ ligt op zijde $A C$ zo dat $| B D | = | C E |$ .
$P$ is het snijpunt van $A D$ en $B E$ .

Zoek twee congruente driehoeken in de figuur en bewijs die congruentie

Bereken $∠ A P B$

Net als bij driehoeken kunnen we bij cirkelsectoren spreken van congruentie. Er zijn twee congruentie-gevallen.

Twee cirkelsectoren zijn congruent als:

de stralen van de cirkels gelijk zijn en de middelpuntshoeken zijn gelijk,
de stralen van de cirkels gelijk zijn en de cirkelbogen zijn gelijk.

Afspraak
$A$ en $B$ zijn punten op een cirkel met middelpunt $M$ . Als $∠ A M B = 129 °$ , zeggen we dat boog $A B$ $129 °$ is.
Dit korten we af met: $b g (A B) = 129 °$ .

In een cirkel is een rechthoek $A B C D$ getekend.

Hoe groot is $b g (A C)$ ?

In een cirkel is een regelmatige vijfhoek $A B C D E$ getekend.

Hoe groot zijn $b g (A B)$ en $b g (A C)$ ?

$A$ en $B$ zijn twee punten op een cirkel met straal $3$ . Gegeven is dat $b g (A B) = 129 °$ .

Bereken $| A B |$ en de lengte van boog $A B$ in twee decimalen.

$A$ en $B$ zijn twee punten op een cirkel met straal $r$ .
Gegeven is dat $b g (A B) = α$ .

Druk $| A B |$ en de lengte van boog $A B$ uit in $r$ en α.

De punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ liggen op een cirkel met middelpunt $M$ .
We vergelijken de sectoren $A M B$ en $C M D$ .

Bewijs dat geldt: $b g (A B) = b g (C D) \Leftrightarrow | A B | = | C D |$ .
Opmerking Je moet hier twee dingen bewijzen:

als de bogen $A B$ en $C D$ gelijk zijn, dan zijn de lijnstukken $A B$ en $C D$ ook gelijk,
als de lijnstukken $A B$ en $C D$ gelijk zijn, dan zijn de bogen $A B$ en $C D$ ook gelijk.